arcgis中七种插值⽅法的对⽐分析
反距离权重(IDW) 插值使⽤⼀组采样点的线性权重组合来确定像元值。权重是⼀种反距离函数。进⾏插值处理的表⾯应当是具有局部因变量的表⾯。 此⽅法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响⽽减⼩。例如，为分析零售⽹点⽽对购电消费者的表⾯进⾏插值处理时，在较远位置购电影响较⼩，这是因为⼈们更倾向于在家附近购物。
使⽤幂参数控制影响
反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是⼀个正实数，默认值为2。
通过定义更⾼的幂值，可进⼀步强调最近点。因此，邻近数据将受到最⼤影响，表⾯会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增⼤，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较⼩的幂值将对距离较远的周围点产⽣更⼤影响，从⽽导致更加平滑的表⾯。
由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此⽆法确定特定幂值是否过⼤。作为常规准则，认为值为30 的幂是超⼤幂，因此不建议使⽤。此外还需牢记⼀点，如果距离或幂值较⼤，则可能⽣成错误结果。
水爆炸
可将所产⽣的最⼩平均绝对误差最低的幂值视为最佳幂值。ArcGIS Geostatistical Analyst 扩展模块提供了⼀种研究此问题的⽅法。
1. 3
限制⽤于插值的点
也可通过限制计算每个输出像元值时所使⽤的输⼊点，控制内插表⾯的特性。限制经考虑的输⼊点数可加快处理速度。此外，由于距正在进⾏预测的像元位置较远的输⼊点的空间相关性可能较差或不存在，因此有理由将其从计算中去除。 可直接指定要使⽤的点数，也可指定会将点包括到插值内的固定半径。
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可变搜索半径
可以使⽤可变搜索半径来指定在计算内插像元值时所使⽤的点数，这样⼀来，⽤于各内插像元的半径距离将有所不同，⽽具体情况将取决于必须在各内插像元周围搜索多长距离才能达到指定的输⼊点数。由此将导致⼀些邻域较⼩⽽另⼀些邻域较⼤，这是由位于内插像元附近的测量点的密度所决定的。另外，也可指定搜索半径不得超出的最⼤距离（以地图单位为单位）。如果在获取指定点数之前特定邻域的半径达到最⼤距离，则会针对最⼤距离内的测量点数执⾏该位置的预测。通常，如果此现象产⽣的偏差较⼤，则应使⽤较⼩邻域或最少点数。
3. 5
固定搜索半径
固定搜索半径需要邻域距离和最少点数。距离⽤于表⽰圆形邻域的半径（以地图单位为单位）。因为半径距离是常量，所以对于每个内插像元⽽⾔，⽤于查输⼊点的圆半径完全相同。最少点数⽤于表⽰将在邻域内使⽤的最少测量点数。计算各内插像元时会使⽤位于半径内的所有测量点。当邻域中的测量点数⼩于所指定的最少值时，搜索半径将不断增⼤，直到可以囊括最少点数时为⽌。由于将针对研究区域内的每个内插像元（像元中⼼）应⽤所指定的固定搜索半径，因此如果测量点分布不均匀（它们很少均匀分布），则很可能会在不同的邻域中使⽤不同数量的测量点，从⽽产⽣不同的预测结果。
4. 6
使⽤障碍
⼀个障碍即是⼀个⽤作可限制输⼊采样点搜索的隔断线的折线(polyline) 数据集。⼀条折线(polyline) 可以表⽰地表中的悬崖、⼭脊或某种其他中断。仅将那些位于障碍同⼀侧的输⼊采样点视为当前待处理像元。
END
克⾥⾦法的⼯作原理
1. 1
克⾥⾦法是通过⼀组具有z 值的分散点⽣成估计表⾯的⾼级地统计过程。与插值⼯具集中的其他插值⽅法不同，选择⽤于⽣成输出表⾯的最佳估算⽅法之前，有效使⽤克⾥⾦法⼯具涉及z 值表⽰的现象的空间⾏为的交互研究。
2. 2
什么是克⾥⾦法？
IDW（反距离加权法）和样条函数法插值⼯具被称为确定性插值⽅法，因为这些⽅法直接基于周围的测量值或确定⽣成表⾯的平滑度的指定数学公式。第⼆类插值⽅法由地统计⽅法（如克⾥⾦法）组成，该⽅法基于包含⾃相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。因此，地统计⽅法不仅具有产⽣预测表⾯的功能，⽽且能够对预测的确定性或准确性提供某种度量。
克⾥⾦法假定采样点之间的距离或⽅向可以反映可⽤于说明表⾯变化的空间相关性。克⾥⾦法⼯具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进⾏拟合以确定每个位置的输出值。克⾥⾦法是⼀个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模和创建表⾯，还包括研究⽅差表⾯。当您了解数据中存在空间相关距离或⽅向偏差后，便会认为克⾥⾦法是最适合的⽅法。该⽅法通常⽤在⼟壤科学和地质中。
3. 3
克⾥⾦法公式
由于克⾥⾦法可对周围的测量值进⾏加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。这两种插值器的常⽤公式均由数据的加权总和组成：
在反距离权重法中，权重λi 仅取决于预测位置的距离。但是，使⽤克⾥⾦⽅法时，权重不仅取决于测
量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。要在权重中使⽤空间排列，必须量化空间⾃相关。因此，在普通克⾥⾦法中，权重λi 取决于测量点、预测位置的距离和预测位置周围的测量值之间空间关系的拟合模型。以下部分将讨论如何使⽤常⽤克⾥⾦法公式创建预测表⾯地图和预测准确性地图。
4. 4
使⽤克⾥⾦法创建预测表⾯地图
要使⽤克⾥⾦法插值⽅法进⾏预测，有两个任务是必需的：
到依存规则。
设计材料
进⾏预测。
要实现这两个任务，克⾥⾦法需要经历⼀个两步过程：
创建变异函数和协⽅差函数以估算取决于⾃相关模型（拟合模型）的统计相关性（称为空间⾃相关）值。
预测未知值（进⾏预测）。
由于这两个任务是不同的，因此可以确定克⾥⾦法使⽤了两次数据：第⼀次是估算数据的空间⾃相关，第⼆次是进⾏预测。
5. 5
变异分析
拟合模型或空间建模也称为结构分析或变异分析。在测量点结构的空间建模中，以经验半变异函数的图形开始，针对以距离 h 分隔的所有位置对，通过以下⽅程进⾏计算：
Semivariogram(distanceh) = 0.5 * average((valuei –valuej)2)
该公式涉及到计算配对位置的差值平⽅。
下图显⽰了某个点（红⾊点）与所有其他测量位置的配对情况。会对每个测量点执⾏该过程。
6. 6
通常，各位置对的距离都是唯⼀的，并且存在许多点对。快速绘制所有配对则变得难以处理。并不绘制每个配对，⽽是将配对
分子量测定分组为各个步长条柱单元。例如，计算距离⼤于40 ⽶但⼩于50 ⽶的所有点对的平均半⽅差。经验半变异函数是y 轴上表⽰平均半变异函数值，x 轴上表⽰距离或步长的图（请参阅下图）。
7.7
空间⾃相关量化时采⽤以下地理的基本原则：距离较近的事物要⽐距离较远的事物更相似。因此，位置对的距离越近（在半变异函数云的x 轴上最左侧），具有的值就应该越相似（在半变异函数云的y 轴上较低处）。位置对的距离变得越远（在半变异函数云的x 轴上向右移动），就应该变得越不同，差值的平⽅就会更⾼（在半变异函数云的y 轴上向上移动）。
8.8
根据经验半变异函数拟合模型
下⼀步是根据组成经验半变异函数的点拟合模型。半变异函数建模是空间描述和空间预测之间的关键
步骤。克⾥⾦法的主要应⽤是预测未采样位置处的属性值。经验半变异函数可提供有关数据集的空间⾃相关的信息。但是，不提供所有可能的⽅向和距离的信息。因此，为确保克⾥⾦法预测的克⾥⾦法⽅差为正值，根据经验半变异函数拟合模型（即，连续函数或曲线）是很有必要的。该操作理论上类似于回归分析，在此回归分析中将根据数据点拟合连续线或曲线。要根据经验半变异函数拟合模型，则选择⽤作模型的函数（例如，开始时上升并在距离变⼤⽽超过某⼀范围后呈现⽔平状态的球⾯类型）（请参阅下⾯的球
⾯模型⽰例）。经验半变异函数上的点与模型有⼀些偏差；⼀些点在模型曲线上⽅，⼀些点在模型曲线下⽅。但是，如果添加⼀个相应的距离，每个点都会在线上⽅，或者如果添加另⼀个相应的距离，每个点都会在线下⽅，这两个距离值应该是相似的。有多种半变异函数模型可供选择。
9.9
球⾯模型⽰例
该模型显⽰了空间⾃相关逐渐减⼩（等同于半⽅差的增加）到超出某个距离后⾃相关为零的过程。球⾯模型是最常⽤的模型之⼀。
10.10
指数模型⽰例zcom电子杂志
该模型在空间⾃相关随距离的增加呈指数减⼩时应⽤。在这⾥，⾃相关仅会在⽆穷远处完全消失。指数模型也是常⽤模型。要选择使⽤哪个模型基于数据的空间⾃相关和数据现象的先验知识。
END
⾃然邻域法的⼯作原理
1. 1
⾃然邻域法插值⼯具使⽤的算法可到距查询点最近的输⼊样本⼦集，并基于区域⼤⼩按⽐例对这些样本应⽤权重来进⾏插值(Sibson 1981)。该插值也称为Sibson 或“区域占⽤(area-stealing)”插值。该插值⽅法的基本属性是它具有局部性，仅使⽤查询点周围的样本⼦集，且保证插值⾼度在所使⽤的样本范围之内。该插值⽅法不会推断趋势且不会⽣成输⼊样本尚未表⽰的⼭峰、凹地、⼭脊或⼭⾕。该表⾯将通过输⼊样本且在除输⼊样本位置之外的其他所有位置均是平滑的。
2. 2
所有点的⾃然邻域都与邻近Voronoi（泰森）多边形相关。最初，Voronoi 图由所有指定点构造⽽成，并由橄榄⾊的多边形表⽰。然后会在插值点（红星）周围创建⽶⾊的新Voronoi 多边形。这个新的多边形与原始多边形之间的重叠⽐例将⽤作权重。
3. 3
相⽐之下，基于距离的插值器⼯具（如 IDW（反距离加权））会根据距插值点相同的距离为最北部的点和东北部的点分配相同的权重。但是，⾃然邻域法插值会根据重叠百分⽐为其分别指定19.12% 和0.38% 的权重。
END
样条函数法的⼯作原理
1. 1
概念的背景
从概念上讲，采样点被拉伸到它们数量上的⾼度；样条函数折弯⼀个橡⽪页，该橡⽪页在最⼩化表⾯总曲率的同时穿过这些输⼊点。在穿过采样点时，它将⼀个数学函数与指定数量的最近输⼊点进⾏拟合。此⽅法最适合⽣成平缓变化的表⾯，例如⾼程、地下⽔位⾼度或污染程度。
基本形式的最⼩曲率样条函数插值法在内插法的基础上增加了以下两个条件：表⾯必须恰好经过数据点。
表⾯必须具有最⼩曲率- 通过表⾯上每个点获得的表⾯的⼆阶导数项平⽅的累积总和必须最⼩。
基本最⼩曲率法也称为薄板插值法。它确保表⾯平滑（连续且可微分），⼀阶导数表⾯连续。在数据点的周边，梯度或坡度的变化率（⼀阶导数）很⼤；因此，该模型不适合估计⼆阶导数（曲率）。
通过将权重参数的值指定为0，可将基本插值法应⽤到样条函数法⼯具。
2. 2
样条函数法类型
有两种样条函数⽅法：规则样条函数⽅法和张⼒样条函数⽅法。规则样条函数⽅法使⽤可能位于样本数据范围之外的值来创建渐变的平滑表⾯。张⼒样条函数⽅法根据建模现象的特性来控制表⾯的硬度。它使⽤受样本数据范围约束更为严格的值来创建不太平滑的表⾯。
3. 3
规则样条函数类型
REGULARIZED 选项对最⼩化条件进⾏了修改，从⽽将三阶导数项加⼊到最⼩化条件中。权重参数指定最⼩化期间附加到三阶导数项的权重，在⽂献资料中称为τ (tau)。增⼤此项的值可以得到更加平滑的表⾯。介于0 和0.5 之间的值⽐较适合。使⽤REGULARIZED 选项可确保获得平滑的表⾯以及平滑的⼀阶导数表⾯。如果需要计算插值表⾯的⼆阶导数，此⽅法很有⽤。
4. 4
张⼒样条函数类型
TENSION 选项对最⼩化条件进⾏了修改，从⽽将⼀阶导数项加⼊到最⼩化条件中。权重参数指定最⼩化期间附加到⼀阶导数项的权重，在⽂献资料中称为Φ(phi)。权重为零时，将变为基本薄板样条函数插值法。增⼤权重值将会降低薄板的硬度，在极限情况下，随着phi 接近⽆穷⼤，表⾯形状将近似于经过这些点的膜或橡⽪页。插值的表⾯很平滑。⼀阶导数连续但不平滑。
5. 5
其他样条函数参数
通过以下两个附加参数可以进⼀步控制输出表⾯：权重和点数。
权重参数
对于规则样条函数⽅法，权重参数定义曲率最⼩化表达式中表⾯的三阶导数的权重。权重越⾼，输出表⾯越平滑。为该参数输⼊的值必须⼤于或等于零。可能会⽤到的典型值有0、0.001、0.01、0.1 和0.5。
对于张⼒样条函数⽅法，权重参数定义张⼒的权重。权重越⾼，输出表⾯越粗糙。输⼊的值必须⼤于或等于零。典型值有0、1、5 和10。
点数参数
点数识别在计算每个插值像元时所使⽤的点数。指定的输⼊点越多，较远数据点对每个像元的影响就越⼤，输出表⾯也就越平滑。点数的值越⼤，处理输出栅格所需的时间就越长。
6. 6
样条函数法⽅程
样条函数法⼯具的算法为表⾯插值使⽤以下公式：
其中：
j = 1, 2, ..., N
武汉工学院N 为点数。
λj 是通过求解线性⽅程组⽽获得的系数。
rj 是点(x,y) 到第 j 点之间的距离。
根据所选的选项，T(x,y) 和 R(r) 的定义将有所不同。
出于计算⽬的，输出栅格的整个空间被划分为⼤⼩相等的块或区域。x ⽅向和y ⽅向上的区域数相等，并且这些区域的形状均为矩形。将输⼊点数据集中的总点数除以指定的点数值可以确定区域数。如果数据的分布不太均匀，则这些区域包含的点数可能会明显不同，⽽点数值只是粗略的平均值。如果任何⼀个区域中的点数⼩于⼋，则该区域将会扩⼤到⾄少包含⼋个点。
7.7
对于REGULARIZED 选项
T(x,y) = a1 + a2x + a3y
其中：
ai 是通过求解线性⽅程组⽽获得的系数。
倒立摆以及
其中：
r 是点与样本之间的距离。
是权重参数。
Ko 是修正贝塞尔函数。
c 是⼤⼩等于0.577215 的常数。
8.8
对于TENSION 选项
T(x,y) = a1
其中：
a1 是通过求解线性⽅程组⽽获得的系数。
以及
其中：
r 是点与样本之间的距离。
φ2 是权重参数。
Ko 是修正贝塞尔函数。
c 是⼤⼩等于0.577215 的常数。
9.9
对输出的区域处理
出于计算⽬的，输出栅格的整个空间被划分为⼤⼩相等的块或区域。x ⽅向和y ⽅向上的区域数相等，并且这些区域的形状均为矩形。将输⼊点数据集中的总点数除以指定的点数值可以确定区域数。如果数据的分布不太均匀，则这些区域包含的点数可能会明显不同，⽽点数值只是粗略的平均值。如果任何⼀个区域中的点数⼩于⼋，则该区域将会扩⼤到⾄少包含⼋个点。
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