数学建模一周论文
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地下水危机的分析建模
摘要：地下水是指贮存于地面以下岩石裂縫和土壤空隙中的水，是水资源的重要组成部分。地下水、地表水、大气水，三者之间相互依存，无时无刻在相互转化以维护地球水资源的平衡。随着工业的发展，地表水受到污染早已是司空见惯的事了，而如今地下水也危机四伏，倘若纯净的地下水再受到污染，那地球上的水资源将难以平衡，地球上的生物也将难以生存。 本文主要是由采样数据对某一地区不同地形的地下水的重金属元素污染的程度进行分析。然后我们对采样数据进行处理。 然后第一问我们对重金属含量来表示不同的浓度，再根据取样点的坐标，做出重金属含量的分布图，并表示重金属元素的浓度。
第二问为确定地下水污染原因，我们从两方面来分析，利用Excel对五种地区作单因子方差分析，得出不同地区的污染程度有非常显著性的差异，并得到绝大数都是由于工业污染造成的。
第三问为出污染特征和确定污染源，我们主要是利用地统计学的半方差函数（或称变异函数）模型，先通过估计出半方差函数的三个参数，并由此确定各重金属污染的传播特征，再来推出它们的污染源，另外我们还求出各种重金属元素的相关系数，从相关性的角度说明它们的污染特征和污染源的确定。
关键词：重金属污染；单因子方差分析；半方差函数；
一、问题提出
随着人类工业的快速发展和人口的不断增加，人类活动对纯净地下水质量的影响日显突出。对地下水地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展该地区地下水的质量评价，研究人类活动影响下该地区地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，地区一般可分为城市区、工业区、山区、及乡村区等，分别记为1类区、2类区、……、4类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某一地区地下水环境进行调查。为此，将所考察的地区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人及工业活动的自然区取样，将其作为该地区地下水中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出重金属元素在该地区的分布，并分析该地区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
二、问题分析
本文对该地区八种金属元素污染程度的分析，首先是主要将异常的数据进行处理，我们采用统计中常用的原则，即以采用数据超出范围的为异常数据，其中、分别为采用数据中各重金属的样本均值和样本标准差。当采用数据大于时，以代替；当采用数据小于时，以代替。然后处理数据。处理完数据之后，再根据取样点的坐标，做出各种重金属元素的分布，表示重金属元素的浓度，从而解决第一问。
对于第二问为确定重金属污染的主要原因，我们对该地区四种不同的功能区进行八种重金属污染指数的单因子方差分析，分析这四种功能区的污染程度是否有显著性差异，若差异很显著，则主要看是那个因子（即功能区）影响最大，从而确定污染的原因，从而根据该数据也可以得到第二问的答案。
对于第三问，为分析出重金属污染物的传播特征，并由此确定污染源的位置，我们主要根据地统计学半方差函数模型来做的。其总的思想就是根据已知采样点提供的信息拟合半方差函数，然后根据该函数对未知点进行估计和模拟。因此，半方差函数是我们利用的主要工具，利用半方差函数对重金属的空间分布进行结构分析和变异性分析，并由此得出重
金属污染物的传播特征；并由此对其它未知点污染程度进行预测，从而确定污染源（污染最严重的区域）。通过数据不难看出他们的传播特征在一定程度上也相似，但是也有些相关性相对较弱，如As和Cd，说明他们的传播特征有一定的区别。但总体上，重金属的含量之间都是正相关的，说明所有重金属的传播有一定的共同点。而所有重金属的含量与海拔之间都是负相关的，说明，随着海拔越低，他们的重金属含量越高，表明重金属的传播向下沉。
最后对所建模型进行评价和改进。
三、模型的假设
1) 假设所有数据都是真实可靠的；
2) 假设污染源为重金属含量最高的地方；
3) 假设问题三中重金属含量是平稳的，即假设第三问中半方差函数的值只与距离h有关，而与其他无关。
四、模型建立与求解
模型的建立:为分析出重金属污染物的传播特征，并由此确定污染源的位置，我们主要根据地统计学学模型，主要是根据采样点提供的信息，对未知点进行估计和模拟（参考文献），半方差函数是我们利用的主要工具。一方面，利用半方差函数对重金属的空间分布进行结构分析和变异性分析，并由此得出重金属污染物的传播特征；另一方面应用前面分析的结果，利用克里格法进行估值，并由此拟合曲线对其它未知点污染程度进行预测得出图形，并由此确定污染源（污染最严重的区域）。
变异函数(或称变差函数)的定义公式为
（1）
其中，和分别表示两个距离为的点的重金属的值。当前面假设成立时，上述半方差函数的值只与距离有关，与无关，于是记
（2）
其具体的计算变异函数的公式为
（3）
其中，N(h)是分隔距离为h时的所有观测样本对(pairs)总数。
由上面的公式可以得出若干个变异函数的离散点的值，然后由这些离散的点进行拟合，地统计学用到的变异函数拟合的理论模型一般有三种如下：
(2)指数模型，一般公式为:
（4）
(3)高斯模型，一般公式为:
（5）
(4)线性模型，一般公式为:
（6）
C清华同方中国知网。为块金方差，它的值越大，表示受随机因素（如人类活动、社会经济和环境影响等）的影响而引起的空间变异性越大。C为结构方差如由土壤母质、地形、气候等非人为的结构性因素引起的空间变异性；C+C。反映的是随机因素和结果因素共同引起的空间变异。a为最大变程，反映的是重金属含量在空间上的最大相关距离。常用的比值作为度量空间相关程度的尺度，该比值小于0.25，则变量的空间相关程度较强；该比值在0.25~0.75之间，则变量的中等程度的空间相关；该比值大于0.75，则属于空间弱相关。
模型求解角蜡蚧：利用GS+V9.0软件对八种重金属元素的半方差函数模型的参数进行拟合估计，经过四种理论模型的反复比较得到下表：
重金属元素 | 块金值 | 基台值 | 最大变程 | | 理论模型 |
As | 2.0481 | 2.6948 | 15.647 | 0.911 | 线性模型 |
动脉硬化指数Ni | 0.09376 | 0.11654 | 15.64 | 0.908 | 线性模型 |
Cu | 0.344 | 1.79400 | 27.27 | 0.808 | 高斯模型 |
Pb | 0.16900 | 0.71500 | 20.48 | 0.764 | 高斯模型 |
Zn | 0.36300 | 1.42600 | 24.39 | 0.745 | 高斯模型 |
Cr | 0.14210 | 0.45320 | 41.10 | 0.686 | 指数模型 |
Cd | 0.31678 | 0.49097 | 15.64 | 0.355 | 线性模型 |
Hg | 0.73500 | 3.07100 | 41.1 | 0.239336 | 指数模型 |
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五、结果
我们选取8种重金属元素的平均值，用EXCELL软件画出其相对含量的柱状
工业区 山区 城市区 乡村区
As(1) Cd(2) Cr(3) Cu(4) Hg(5) Ni(6) Pb(7) Zn(8)
8种重金属元素处理之后可以相互比较，由柱状图可以看出：城市区中Cr含量最大,Zn,Pb含量次之；工业区中Cu，Hg含量较高，且其他重金属也相对较多；山区中Ni含量最大，Cr，As次之，且8种重金属含量都相对较少；乡村区中各重金属含量都比较集中，Hg最少。由柱状图可以清楚的看出各个区的污染程度：工业区>城市区>乡村区>山区。
我们还可以横向来比较8个元素在四个功能区中的相对含量：As、Cr、Ni在各功能区的含量相对均匀，而Cu、Hg在工业区中的含量与其它区差别明显；Cd、Zn、Pb、作文与考试Cu、Hg在工业区中的含量和山区相比差异较大，说明它们受人类活动的影响相对明显。
重金属具有富集性，很难在环境中降解且Hg、Cd、Cr、Pb具有很强的生物毒性。由于工业生产产生大量废物，汽车尾气排放，汽车轮胎磨损产生大量含重金属的有害气体和粉尘，Cu 、Hg 、Zn主要在工业区和城市区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、城市区的土壤重金属具有很强的叠加性。Pb、Cd、As、Cr主要在乡村区富集，乡村区内由于含重金属的废弃物堆积，施用含Pb、Cd、As等的农药，不合理的施用化肥以及大量使用农用塑料薄膜都会造成重金属污染，综合风向等多种因素的影响可能会发生迁移且富集，从而造成该地区的重金属污染。Ni元素在各个功能区中的分布相对均
匀，山区分析的8种重金属中Ni含量最多，所以说工业区及城市区污染的富集和迁移，都有可能造成污染。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。
地下水重金属元素的含量与地表水、土壤表层的重金属含量相比较，可以推断出：地下水的重金属污染主要来源于地表水、土壤表层。当地表水受到严重污染时，地表水补给地下水，就会把地表水中所含的重金属带到地下水中，此时地下水就会受到污染。同时当大气降水补给地下水时，若土壤表层中含有大量重金属，雨水就会把土壤表层中含有的重金属带到地下水，也就污染了地下水。另一方面地下水是指贮存于地面以下岩石裂縫和土壤空隙中的水，当土壤表层受到污染，那土壤空隙中的地下水也无法避免被污染。
六、参考文献
[1]孙洪泉.地质统计学及其应用[M].1990，北京:中国矿业大学出版社
[2]黄勇，任海，郭庆荣等.地统计学在土壤及地下水重金属研究中的应用及展望[J].生态环境，2004，13(4):681一684.
[3]王波，毛任钊等.基于冷iging法和Gls技术的迁安市农田重金属污染评价[Jl.农业环境科学学报，2006，25(增刊):561一564.
[4]卓金武，魏永生，MATABLE在数学建模中的应用[J]北航出版社，2010,19(4)
东华理工大学
课程设计评分表
学生姓名： edk2 、 、 班级：
学号： 、 、
课程设计题目：地下水的危机分析
| 项目内容 | 满分 | 实 评 |
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选 题 | 能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求 （3人一题） | 5 | |
工作量适中，难易度合理 | 10 | |
中国电子制作网能 力 水 平 | 能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力 | 10 | |
理论依据充分，数据准确，公式推导正确 | 10 | |
能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、制图等 | 10 | |
能体现创造性思维，或有独特见解 | 15 | |
成 果 质 量 | 模型正确、合理，各项技术指标符合要求。 | 15 | |
摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、结论严谨合理；问题处理科学、条理分明、语言流畅、结构严谨、版面清晰 | 15 | |
论文主要部分齐全、合理，符号统一、编号齐全。 格式、绘图、表格、插图等规范准确，符合论文要求 | 10 | |
字数不少于2000字，不超过15000字 | 5 | |
| 总 分 | 100 | |
指导教师评语： 指导教师签名： 年 月 日 |
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