半方差函数(Semi-variogram)及其模型 半方差函数也称为半变异函数,它是地统计学中研究土壤变异性的关键函数.
如果随机函数Z(x)具有二阶平稳性,则半方差函数((h)可以用Z(x)的方差S2和空间协方差C(h)来定义:((h)= S2-C(h)
((h)反映了Z(x)中的空间相关部分,它等于所有以给定间距h相隔的样点测值之差平方的数学期望: 亚洲 霸王龙足迹
(1)
实际可用:
(2)
式中N(h)是以h为间距的所有观测点的成对数目.某个特定方向的半方差函数图通常是由((h)对h作图而得.在通常情况下,半方差函数值都随着样点间距的增加而增大,并在一定的间距(称为变程,arrange)升大到一个基本稳定的常数(称为基台,sill).
土壤性质的半方差函数也可能持续增大,不表现出确定的基台和变程,这时无法定义空间方差,说明存在有趋势效应和非平稳性.另一些半方差函数则可能完全缺乏空间结构,在所用的采样尺度下,样品间没有可定量的空间相关性.
从理论上讲,实验半方差函数应该通过坐标原点,但是许多土壤性质的半方差函数在位置趋于零时并不为零.这时的非零值就称为"块金方差(Nugget variance)"或"块金效应".它代表了无法解释的或随机的变异,通常由测定误差或土壤性质的微变异所造成.
对于平稳性数据,基底方差与结构方差之和约等于基台值.
2.1.2 方差函数的理论模型
土壤在空间上是连续变异的,所以土壤性质的半方差函数应该是连续函数.但是,样品半方差图却是由一批间断点组成.可以用直线或曲线将这些点连接起来,用于拟合的曲线方程就称为
半方差函数的理论模型.在土壤研究中常用的模型有:
①线性有基台模型:
式中C1/a是直线的斜率.这是一维数据拟合的最简单模型:
((h)=C0 +C1·h/a 0在极限情况下,C1/a可以为0,这时就有纯块金效应模型:
((h)=C0, h>0 (4)
((0)=0 h=0
女港商刘娟 ②球状模型
((h)= C0 +C1[1.5h/a-0.5(h/a)3] 0a (5)
((0)=0 h=0
③指数模型
((h)=C0+C1[1-exp-h/a ] h>0 (6)
((0)=0 h=0
④双曲线模型
(7)
⑤高斯模型
((h)=C0+C1[1-exp(-h2/a2)] h>0 (8)
躲避太阳 ((0)=0 h=0
选定了半方差函数的拟合模型后,通常是以最小二乘法计算方程的参数,并应用Ross等的最大似然程序(MLP),得到效果最好的半方差方程.
2.1.3 模型的检验(cross-validation,又称作jacknifing)
为了检验所选模型三个参数的合理性,必须作一定的检验.但是到现在为止还没有一个有效的方法检验参数的置信区间;同时,由于我们不知道半方差模型的确切形式,所选定的模型只
是半方差函数的近似式,故无法以确切的函数形式对模型参数进行统计检验.交叉验证法的检验方法,一种间接的结合普通克立格的方法,为检验所选模型的参数提供了一个途径.这个方法的优点是在检验过程中对所选定的模型参数不断进行修改,直至达到一定的精度要求.
交叉验证法的基本思路是:依次假设每一个实测数据点未被测定,由所选定的半方差模型,根据n-1个其它测定点数据用普通克立格估算这个点的值.设测定点的实测值为,估算值为,通过分析误差,来检验模型的合理性.
2.1.4半方差函数的模型的选取原则和参数的确定 鲁迅艺术学院
半方差函数的模型的选取原则是:首先根据公式计算出((h)的散点图,然后分别用不同类型的模型来进行拟合,得到模型的参数值及离差平方和,首先考虑离差平方和较小的模型类型,其次,考虑块金值和独立间距,最后用交叉验证法来修正模型的参数.
2.2 Kriging最优内插估值法
如果区域化变量满足二阶平稳或本征假设,对点或块段的估计可直接采用点克立格法(Puctual Kriging )或者块段克立格法(Block Kriging).这两种方法是最基本的估计方法,也称
普通克立格法(Origing Kriging,简称OK).
半方差图除用于分析土壤特性空间分布的方向性和相关距离外,还可用于对未测点的参数进行最优内插估值和成图,该法原理如下:
Kriging最优内插法的原理
设x0为未观测的需要估值的点,x1, x2,…, xN 为其周围的观测点,观测值相应为y(x1 ),y(x2),…,y(xN).未测点的估值记为 (x0),它由相邻观测点的已知观测值加权取和求得:
(9)
此处,(i为待定加权系数.
和以往各种内插法不同,Kriging内插法是根据无偏估计和方差最小两项要求来确定上式中的加权系数(i的,故称为最优内插法.
1. 无偏估计 设估值点的真值为y(x0).由于土壤特性空间变异性的存在,以及, y(x0)均可视为随机变量.当为无偏估计时,
(10)
将式(9)代入(10)式,应有
(11)
2. 估值和真值y(x0)之差的方差最小.即
(12)
《国家新型城镇化规划(2014-2020年)》 利用式(3-10),经推导方差为
(13)
式中,((xi,xj)表示以xi和xj两点间的距离作为间距h时参数的半方差值,((xi, x0)则是以xi和x0两点之间的距离作为间距h时参数的半方差值.观测点和估值点的位置是已知的,相互间的距离业已知,只要有所求参数的半方差((h)图,便可求得各个((xi,xj)和((xi,x0)值.
因此,确定式(9)中各加权系数的问题,就是在满足式(11)的约束条件下,求目标函数以式(13)
表示的方差为最小值的优化问题.求解时可采用拉格朗日法,为此构造一函数,(为待定的拉格朗日算子.由此,可导出优化问题的解应满足:
i=1,2,N (14)
由式(14)和式(11)组成n+1阶线性方程组,求解此线性方程组便可得到n个加权系数(i和拉格朗日算子(.该线性方程组可用矩阵形式表示:
(15)
式中,( ij为((xi,xj)的简写.
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求得各(i值和(值后,由式(9)便可得出x0点的最优估值y(x0).而且还可由式(13)求出相应该估值的方差之最小值(2min.将式(14)代入式(13),最小方差值还可由下式方便地求出:
(16)
上述最优化问题求解还可用其他方法,在应用Kriging内插法时还有其他方面的问题,在此都不一一列举了.
扩展阅读：
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