1。四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点,连接EG,CG，EC．（1)如图1,若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1,AB=,当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值． 解：（1）EG⊥CG,=，
理由是：过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，
∴EF∥GH∥DC，
∵G为DF中点，
∴H为EC中点，
∴EG=GC,GH=（EF+DC）=（EB+BC），
即GH=EH=HC，
∴∠EGC=90°,
温度传感器论文即△EGC是等腰直角三角形，
∴=；
（2）
解:结论还成立，
理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH,连接CH、EC，过E作BC的垂线EM,延长CD，
∵在△EFG和△HDG中
∴△EFG≌△HDG(SAS），
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，
∴EF∥DH，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠EBC=180°—∠4=180°-∠1=∠HDC,
在△EBC和△HDC中
∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，=，
即（1）中的结论仍然成立；
（3）
解:连接BD，
∵AB=，正方形ABCD，
∴BD=2，
∴cos∠DBE==，
∴∠DBE=60°,
∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，
∴∠ABF=45°—15°=30°，
∴tan∠ABF=,
∴DE=BE=，
∴DF=DE-EF=—1．
解析:
（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC,求出H为EC中点,根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=截肢手术（EF+DC）=训狼记（EB+BC)，推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；
（2）延长EG到H,使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM,延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH,∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案;
（3)连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°,求出∠ABF=30°,解直角三角形求出即可．
2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF,∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG,CG．
(1)延长EG交DC于H,试说明：DH=BE．
人与野兽（2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2），莎莎同学发现:EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD,则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度α（0＜α＜90°），再连接DF，取DF的中点G（如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立,也请说明理由．
（1）证明：∵∠BEF=90°,
∴EF∥DH，
∴∠EFG=∠GDH，
而∠EGF=∠DGH，GF=GD,
∴△GEF≌△GHD，
∴EF=DH，
而BE=EF，
∴DH=BE；
（2）连接DB，如图，
中国海关在线学习平台
∵△BEF为等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°，
而四边形ABCD为正方形,
∴∠DBC=45°，
∴D，E，B三点共线．
而∠BEF=90°，傅里叶红外光谱仪
∴△FED为直角三角形，
而G为DF的中点，
∴EG=GD=GC，
∴∠EGC=2∠EDC=90°,
∴EG=CG且EG⊥CG；
(3）第2问中的结论成立．理由如下：
连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG,如图，
∵G为DF的中点,O为BD的中点，M为BF的中点，
∴OG∥BF，GM∥OB，
∴四边形OGMB为平行四边形，
∴OG=BM，GM=OB，
而EM=BM，OC=OB，
∴EM=OG,MG=OC，
∵∠DOG=∠GMF，
而∠DOC=∠EMF=90°，
∴∠EMG=∠GOC，
∴△MEG≌△OGC,
∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，
又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD,
∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，
∴EG=CG且EG⊥CG．
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议