纳什均衡
1．在下表所示的战略式博弈中，出重复删除劣战略的占优均衡 表1.1
S1 | S2 |
L | M | R |
U | 4,3 那一片消失了的苇塘 | 5,1 | 6,2 |
M | 2,1 | 8,4 | 3,6 |
D | 3,0 | 9,6 | 2,8 |
| | | |
首先，出S2的劣战略。对于S2，M策略严格劣于R策略，所以M为严格劣策略。删除后M再出S1的劣战略，显然对于S1而言，M策略和D策略严格劣于U策略，所以M和D为严格劣策略。删除M与D后占优均衡为（U,L）即，（4，3）。 2．求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡
表1.2
S1 | S2和S3 |
X3 | Y3 |
X2 | Y2 | X2 | Y2 |
X1 | 0,0,0 | 6,5,4 | 4,6,5 | 0,0,0 |
Y1 | 5,4,6 | 0,0,0 | 0,0,0 | 0,0,0 |
| | | | |
首先看S1选择X策略。如果S2同样选择X策略，那么S3一定选择Y策略；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择X策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果S2选择Y策略，那么S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择Y策略，因此，（X，Y，X）是一个纳什均衡。 其次看S1选择Y策略。如果S2选择X策略，S3一定选择X策略；同样，如果S3选择X策略，S2也一定会选择X策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果S2选择Y策略，S3选择Y策略是理性的，如果S3选择X，S2将选择X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同样，如果S3选择Y策略，S2也一定会选择Y策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。
所以该博弈式的纯战略纳什均衡有4个：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。
3．（投票博弈）假定有三个参与人（1、2和3）要在三个项目（A、B和C）中选中一个。三人同时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间Si=｛A，B，C｝。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中。参与人的支付函数如下：
U1(A)=U2(B)=U3(C)=2
U1(B)=U2(C)=U3(A)=1
U1(C)=U2(A)=U3(B)=0
求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。
首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。
1 | 2和3 |
A3 | B3 | C3 |
A2 | B2 | C2 | A2 | B2 | C2 | A2 | B2 | C2 |
A1 | 2,0,1 | 2,0,1 | 2,0,1 | 2,0,1 | 1,2,0 | 2,0,1 | 2,0,1 | 2,0,1 | 0,1,2 | 奥亭
B2 | 2,0,1 | 1,2,0 | 2,0,1 | 1,2,0 | 1,2,0 | 1,2,0 | 2,0,1 | 1,2,0 硫铝酸钙 | 0,1,2 |
C1 | 2,0,1 | 2,0,1 | 0,1,2 | 2,0,1 | 1,2,0 | 0,1,2 | 0,1,2 | 0,1,2 | 0,1,2 |
| | | | | | | | | |
由上，若参与人1选择A策略。如果参与人2同样选择A策略，那么参与人3选择ABC策略是无差异的，但均衡策略只能是参与人3选择A策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3选择AB策略是差异的，但均衡策略只能是其选择A，因此（A，B，A）是一个纳什均衡。如果参与人2选择C策略，参与人3将选择C策略；同样，如果参与3选择C策略，参与人2也将选择C策略。因此，（A，C，C）是一个纳什均衡。
若参与人1选择B策略。如果参与人2选择A策略，那么参与人3将选择A或C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人2的最优策略是选择B，当其选择A策略时，参与人2将选择B策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人2选择B策略，参与人3将选择ABC是无差异的，但其选择A和C都不满足纳什均衡，因此当其选择A和C时，参与人1将选择A或C，因此有当参与人3选择B策略时，才存在纳什均衡（B，B，B）。如果参与人2选择C策略，参与人3也将选择C策略；但参与人3选择C策略时，参与人2将选择B策略，因此，这时不存在纳什均衡。
若参与人1选择C策略。如果参与人2选择A或B策略，那么参与人3将选择C策略；但当参与人3选择C策略时，参与人1的最优策略是选择B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参
与人2选择C策略，参与人3将选择C 策略；因为这时的AB策略都不满足纳什均衡，因此，存在一个纳什均衡（C，C，C）。
所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有5个，分别是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。
4．求解以下战略式博弈的所有纳什均衡
表1.3
7075t6S1 | S2 |
L | M | R |
T | 7，2 | 2，7 | 3，6 |
B | 2，7 | 7，2 | 4，5 |
| | | |
首先考虑纯纳什均衡。如果S1选择T战略→S2将选择M战略→S1选择B战略→S2将选择L战略→S1选择T战略……因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻混合战略
纳什均衡。因此，S1可以对T与B策略进行混合，而S2则可以对L、M、R中的任意至少两个策略进行选择，因此，设S1选择T策略的概率为α，S2选择L策略的概率为β，M策略的概率为γ，则可能有以下情况：
（1）S2选择L、M和R的混合战略。对于S2而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程：
该方程组无解，所以S2无法同时采用L、M和R同时混合的战略
（2）S2选择L和M混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：，解得：α＝1/2。但是将α＝1/2代入等式可得效用为＝＝9/2；同时，将α＝1/2代入可得其值等于11/2。9/2<11/2表明L和M的混合战略的期望效用小于R战略的期望效用，因此，这一混合战略也不满足纳什均衡。
（3）S2选择L和R混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同，因此，需要满足以下方程：，解得：α＝1/3。同样，将α＝1/3代入等式可得＝16/3；将α＝1/3代入可得其值等于13/3。16/3>13/3表明L和R的混合战略的期望效用大于M战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳什均衡。
另一方面，计算S1的混合战略，需要满足以下等式：，解得：β＝1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为。
（4）S2选择M和R的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于S2来说，如果放弃了L战略，那么对S1而言T战略将是劣战略，其将直接选择B战略，这时S2只能选择R战略，S1的反应只可能是L战略，这显然与假设矛盾。
5．模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个打败另一个人，赢者的效用为1，输者的效用为－1；否则效用为0。给出以上博弈的战略式描述并求出所有的纳什均衡。
夏普 sh8298u
（1）以上博弈的战略式表述为
1 | 2 |
杆子 | 老虎 | 鸡 | 虫子 |
杆子 | 0，0 | 1，－1 | 0，0 | －1，1 |
老虎 | －1，1 | 0，0 | 1，－1 | 0，0 |
鸡 | 0，0 | －1，1 | 0，0 | 1，－1 |
虫子 | 1，－1 | 0，0 | －1，1 | 0，0 |
| | | | |
（2）显然，这一博弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人1选择杆子，老虎，鸡和虫子四种战略的混合战略，其概率分别为a，b，c和d，且a＋b＋c＋d＝1。如果这四种战略同时混合，必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程：
解得：a＝b＝c＝d，所以a＝b＝c＝d＝1/4。同理可得参与人2的战略，所以该博弈的唯一
混合策略纳什均衡是参与者以1/4的概率随机选择各自的四个纯战略。
6．一赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱），突然一阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执，最后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师，如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。（假设钱的总数为M，M为共同知识）。
博弈参与人的战略空间是，参与人i的支付函数是：
，
0，
因此，对于参与人i来说，只要采用血源性疫苗都能实现自己的最大收益，也就是说，在该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得，成立的战略组合都是该博弈的纯战略纳什均衡。
7．考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2<W2<2W1，则问： a．写出以上博弈的战略式描述
b．求出以上博弈的所有纳什均衡
（1）该博弈的战略式描述为
甲 | 乙 |
申请企业1 | 申请企业2 |
申请企业1 | | W1，W2 |
申请企业2 | W2，W1 | |
| | |
（2）若甲选择企业1，乙将选择企业2；若乙选择企业2，甲必然选择企业1，因此，（企业1，（企业2，企业1））是一个纯战略纳什均衡。若甲选择企业2，乙将选择企业1；若乙选择企业1，甲必然选择企业2，因此，（企业2，（企业2，企业1））也是一个纯战略纳什均衡。
（3）假定甲选择企业1的概率为，选择企业2的概率为；乙选择企业1的概率为，选择企业2的概率为，则甲选择企业1的期望收益为，选择企业2的期望收益为，由二者相等可得乙选择两个企业的概率分别为：，。
同理可得甲选择两家企业的概率：，。因此，最后的混合均衡是两学生均以的概率决定向企业1与企业2提出申请。
8．考虑存在事前交流的性别战博弈。在丈夫决定去看足球还是芭蕾之前，丈夫有机会向妻子传递以下信息：我们在足球场见面，或者我们在芭蕾馆见面。当以上信息交流完成以后，两者同时决定去足球场还是去芭蕾馆。博弈支付如下：如果两者在足球场见面，则丈
夫获得3，妻子获得1；如果两者在芭蕾馆见面，则丈夫获得1，妻子获得3；在其他条件下两者的支付都是0。
a．给出以上博弈的战略式描述
b．求出所有的纯战略纳什均衡，并讨论哪个均衡更加合理
假定丈夫向妻子传递了信息，由于他不一定必须遵守这个决定，因此，其战略可以有四种：。在此第一个大写字母表示丈夫给出的信息是去足球场，而实际上也是去了足球场，其他同理。而妻子的战略空间是：，其中第一个字母表示丈夫建议去足球场下妻子做出的决策，而第二个字母表示丈夫建议去芭蕾舞馆的情况下妻子做出的决策。因此战略式表述是：
丈夫 | 妻子 |
| | | |
| 3，1 | 3，1 | 0，0 | 0，0 |
| 0，0 | 0，0 | 1，1 | 1，1 |
| 3，1 | 0，0 | 3，1 | 0，0 |
| 0，0 | 1，1 | 0，0 | 1，1 |
| | | | |
这个博弈的纯战略均衡有很多，比如，丈夫发出在足球场见面的信息，但是他去了芭蕾馆，而妻子则不管丈夫什么建议都去了芭蕾馆；，丈夫发出去芭蕾馆见面的信息，但是他去了足球场，而妻子也去了足球场；，丈夫发出去足球场见面的信息，他也去了足球场，妻子也跟着去了足球场，即她跟着丈夫的建议而行动。这个均衡是一个聚点均衡，是更合理的均衡。
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