一、有一个两参与人的四阶段之间的动态博弈如下图所示。试出全部子博弈，讨论该博弈中的可信性问题，求子博弈完美纳什均衡战略组合和博弈的结果。 动态博弈采用逆向归纳法：
（1）从子博弈1（如图）开始：2会选择其可以获得的最大支付的策略（3、6）
(2) 子博弈2（如图），1会选择策略（4 、3），以满足其收益最大化的意愿。
（3）子博弈3（如图），2会选择策略（2 、4）
（4）最后，子博弈4（如图），1会选择策略（U，（5 、3））
由以上分析知该博弈可信，子博弈完美纳什均衡战略组合为（U，(5 、3)）
二、三寡头市场需求函数P=100-Q，Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2，无固定成本。如果厂商1和2先同时决定产量，厂商3根据厂商1、2的产量决策，问三厂商各自的产量和利润是多少？ 答：（1）首先考虑1 2厂商 由古诺模型，可知其产量
Q1=Q2=(a-c)/(n+1)=(100-0)/(2+1)=100/3 （推到过程同第2章习题4）
（2）然后考虑厂商3：
利润U3=Q3*P=Q3*(100-Q1-Q2-Q3)=100/3*Q3-Q3*Q3
对U3求导，令U3'=0,解得：Q3=50/3,这样Q1,Q2,Q3都求出，然后是U1,U2,U3
U3=Q3*P=50/3 * 50/3=2500/9
U1=U2=Q1*P=100/3 * 50/3=500/3
三、两次重复下面这个得益矩阵表示的两人静态博弈。问能否有一个精炼纳什均衡战略组合，实现第一阶段的得益是（4，青年之友4）？如能，给出双方的战略，如不能，证明为什么不能。如果战略组合（x3，y1）的得益改为（1，5），会发生什么变化，至少能在部分阶段实现（4，4）的条件是什么？
Y
Y1 Y2 Y3
X | X1 X2 X3 | 3，1 | 0，0 | 5，印尼0 |
2，1 | 1，2 | 3，1 |
1，2 | 0，1 | 4，4 |
| | | | |
答：(1) 该博弈有两个纯战略纳什均衡（X1， Y1）（X2， Y2），支付函数分别为 (3 ，1)和（1 ，2），但对双方均有利的战略组合（X3 , Y3）不是纳什均衡，因此在一次博弈中不可能出现。
(2)采用“触发战略”，即首先试探合作，如果对方合作，则给予奖励；如果对方不合作，则给予惩罚。 我们先假设这种触发策略可行，则第一阶段合作两方的策略为（X3 , Y3），支付为（4，4），第二阶段合作双方的策略为（X1, Y1）或（X2,Y2），此时支付分别为（3,1）和（1,2）
达到纳什均衡。
采用触发战略的两个参与人的战略是：
参与人X的战略：第一次选X3，则参与人Y为了收益最大必定会选择Y3，此时的策略为（X3 ，Y3）。在种情况下，Y的收益总和分别为4+2=6 或4+1=5
参与人Y的战略：第一次选择Y3，如果第一次的结果是（X3, Y3），则第二次选择Y1，相当于参与人给X第一次采取合作态度的奖励；如果参与人X在第一次选择X1，则第二次选择Y2，相当于给参与人X在第一次选择不合作态度给予惩罚。这两种情况下X的收益总和分别为：4+3=7 5+1=6 ，选择合作可以使得X两次收益总和最大，所以X会选择合作。
（3）综上所述，存在着精炼的纳什均衡使得第一个阶段的得意时（4，4）
（4）若战略组合（x3伊斯兰教葬礼，y1）的得益改为（1，5），即支付矩阵如下：
富士宝豆浆机
Y
Y1 Y2 Y3
X | 金宏柱X1 X2 X3 | 3，1 | 0，0 | 5，0 |
2，1 | 1，2 | 3，1 |
1，5 | 0，1 | 4穿孔机，4 |
| | | | |
此时，采用触发战略的两个参与人的战略是：
参与人X的战略：第一次选X3，若参与人为了收益最大会Y1，此时的策略为（X3 ，Y1），则X在第二阶段选X1以报复Y，在种情况下，Y的收益总和分别为5+1=6；若Y选择合作，则第一阶段策略组合为（X3, Y3），参与人X第二将诶段选择X1以对Y进行报复，此时参与人Y两阶段的收益总和为4+1=5，小于不合作时的收益总和，因此参与人Y不会选择合作，而会选择不合作。
参与人Y的战略：第一次选择Y3，如果第一次的结果是（X3, Y3），则第二次选择Y1，相当于参与人给X第一次采取合作态度的奖励；如果参与人X在第一次选择X1，则第二次选择Y2，相当于给参与人X在第一次选择不合作态度给予惩罚。这两种情况下X的收益总和分别为：4+3=7 5+1=6 ，选择合作可以使得X两次收益总和最大，所以X会选择合作。（与未改变前情况相同）因此，实现第一阶段得益（4，4）的精炼纳什均衡战略组合不存在。
（5）至少能在部分阶段实现（4，4）的条件是：设（x3，y1）的得益改为（1，a），则有a+1<5，即a<4。
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