则称为鞅差（或下鞅差）序列。
命题1-3-1基于
单片机的信号发生器
若为鞅（或下鞅），，则为鞅差（或下鞅差）序列。反之，为鞅差（或下鞅差）序列，，则为鞅（或下鞅）。 证明：设为鞅序列，则
又设为鞅差，则
故为鞅。（习题1-3-1，证明下鞅差的情形）
定义1-3-2 设随机序列珊瑚天峰，若，且当时，，则称为可料的。
定义1-3-3（鞅变换） 若，为随机变量序列，定义新的序列
（1-3-1）
则记。
定理1-3-1 若为鞅（下鞅），为可料的（非负可料的），则是鞅（下鞅）。
证明：由式（1-3-1）可知，是对可测的，因而是适应的，又因为
，所以，
所以是鞅（下鞅）。（习题1-3-2，证明下鞅的情形）。
END
推论1-3-1 若为鞅（下鞅），为停时，则必是鞅（下鞅）。
证明：取则。因为，所以 ，，，，，故是可料的，非负有下界的。若
若，则
所以，故为鞅。（习题1-3-3 证明下鞅的情形）
END
定理1-3-2 （有界停时定理）设为下鞅（鞅），,为有界停时，且,则
永嘉昆剧。
证明：设，则是非负可料的，所以是下鞅（鞅）。实际上，在推论1-3-1中我们已经证明了，故，从而。同时，我们令，故。此外，因为，所以，于是
（3-2）
任取，记和为和在上的限制，另取，则是有界停时（习题1-3-4），且，则，，将替代不等式（3-2）中的，，得到，
由条件期望的定义可知
（习题1-3-4 证明鞅的情况）
END
推论1-3-2 设螺旋锥蝇为下鞅（鞅），,为有界停时，则
万科捐款门
证明：因为,为有界停时，所以也是有界停时，于是
因为，由定理1-3-2知，，所以
时，
，
当时，
，
所以
END
推论1-3-3 设为下鞅（鞅），，则
证明：
因为模具抛光机，由定理1-3-2知
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