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第⼆章 光注⼊半导体激光器的速率⽅程模型
光反馈或光注⼊半导体激光器的速率⽅程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率⽅程―Lang-Kobayashi⽅程[29]，并分析了振荡条件。为⽅便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列⼊表2-1和表2-2。 表2-1 激光器参量的意义
符号 物理量单位 C有源区体积 m3载流⼦寿命ns光⼦寿命ps限制因⼦---阈值载流⼦密度m-3透明载流⼦密度m-3增益饱和系数m3线宽增强因⼦---微分增益m3s-1⾃发辐射因⼦---端⾯强度反射率---波长nm表2-2 参量之间的关系
Table 2-2 Relationships of parameters
损耗 寿命 增益 阈值 2.1.1 光反馈半导体激光器速率⽅程
图2-1 光反馈Fabry-Perot谐振腔⽰意图
图2-1为光反馈的⽰意图，激光谐振腔两端⾯的反射率分别为、，腔长为，外部反射镜的反射率为、距离为，为激光在外腔中环⾏⼀次的时间。、分别表⽰正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化⾏为取决于增益，因此可以将增益作为算⼦。激光在腔内环⾏⼀次的增益为
(2-1)
体访将其变为指数形式，上式可变为
(2-2)
lc9其中为波数。实际上，激光器有源区内载流⼦密度随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。因此将波数在⽆光反馈阈值点(,)展开
(2-3)
其中，为介质的折射率。将(2-3)式代⼊(2-2)中，并将分解成，其中：
频率⽆关项
三吉卯
微波消解法(2-4)
频率相关项
(2-5)
由于是的整数倍，并且⾓频率为的单⾊波电场满⾜关系式，可改写为算⼦
(2-6)
由于激光器振荡频率在阈值附近，即，因此对时变复电场可引⼊慢变化复电场振幅，即
(2-7)
其中。
考虑处的前向⾏波的时变复电场，对于环形增益应满⾜
(2-8)
实际上，算⼦是将被作⽤的函数时延，因此结合(2-6)、(2-7)和(2-8)式，可得复电场的差分⽅程
(2-9)
其中，为进⼊谐振腔的反馈电场复振幅。由于光⼦在谐振腔内环⾏⼀次的时间很短(约7ps)，慢变化振幅在⼀次环⾏内的变化很⼩，所以差分⽅程(2-9)可以近似为⼀阶微分⽅程
(2-10)
上式表明，激光腔内端⾯，即处的负向电场复振幅是正向电场复振幅的反射部分与反馈电场复振幅的总和。考虑反射镜的⽆限次反射，以及谐振腔外端⾯反射的半波损失，即处的外端⾯的反射率为，反馈电场复振幅为中山舰事件之谜
(2-11)
对于弱光反馈情况，即外部反射镜的反射率相对于激光器端⾯反射率较⼩时，可以只考虑单次反射，此时即可称为反馈延迟时间。忽略(2-11)中的⾼次项即可得到弱反馈电场复振幅，代⼊(2-10)，同时考虑激光振荡时, ，并结合以及光⼦寿命与损耗的关系，即可得到光反馈半导体激光器的电场速率⽅程，即Lang-Kobayashi⽅程：
(2-12)
其中，，为反馈强度参量，表⽰反馈光与输出端⾯处内反射光的电场幅度之⽐，称为反馈速率，单位是，为微分增益。
(2-13)
是半导体激光器的线宽增强因⼦，其典型值在之间。折射率和增益分别关联着激光相位和强度，即表⽰载流⼦变化导致的激光相位变化和强度变化的耦合，其表现为线宽极限的倍加宽。
2.1.2 速率⽅程的调整及⽅程的参量
为⽅便计算，Lang-Kobayashi⽅程描述的复电场速率⽅程可以分离成光⼦密度速率⽅程和相位速率⽅程。考虑到⾃发辐射、增益饱和等实际因素，载流⼦密度、光⼦密度以及相位的速率⽅程如下：
(2-14)
(2-15)岩石力学与工程学报
(2-16)
其中表⽰反馈引⼊的相对相位。
上述完整的速率⽅程是对(2-12)
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