麦克斯韦方程组 - ，自由的百科全书
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电磁张量、四维电流密度、电磁应力-能量张量、四维势
北京汉铭
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库仑、安培、高斯、亨利、奥斯特、法拉第、韦伯、麦克斯韦、赫维赛德、洛伦兹、特斯拉、赫兹
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关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（Maxwell's
equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程组，由20个等式和20个变量组成。他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
目录 [隐藏]
1 概论
2 一般表述
3 历史
3.1 麦克斯韦方程组的演化
3.2 论文《论法拉第力线》
3.3 论文《论物理力线》
3.4 论文《电磁场的动力学理论》
3.5 教科书《电磁通论》
4 应用于物质内部的麦克斯韦方程组
4.1 束缚电荷和束缚电流
4.1.1 证明两个一般表述等价
4.2 本构关系
4.2.1 自由空间案例
4.2.2 线性物质案例
4.2.3 一般案例
4.2.4 应用于线性物质的麦克斯韦方程组
4.2.5 本构关系的演算
4.3 自由空间
4.4 磁单极子
民用机场管理条例5 应用麦克斯韦方程组：边界条件
6 厘米-克-秒单位制
7 狭义相对论
7.1 麦克斯韦方程组的协变形式
8 弯曲时空
9 参阅
10 注释
11 参考文献
11.1 期刊文章
11.2 大学水平课本
11.2.1 本科生
11.2.2 研究生
11.2.3 经典著作
11.2.4 数值计算法
[编辑] 概论
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。它们分别为
高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。换句话说，类比于电荷的磁荷 ，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
[编辑] 一般表述
在这段落里，所有方程都采用国际单位制。若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。除了使用于工程学领域的国际单位制以外，常用的单位制有高斯单位制（Gaussian
units）、洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heaviside
units）、普朗克单位制。由CGS单位制衍生的高斯单位制，因为许多常数都被吸收到单位内，在推导理论时，不需要重复的处理这些常数，可以省略很多工作[1]。稍后会更进一步阐述高斯单位制。洛伦兹-赫维赛德单位制主要用于粒子物理学，而普朗克单位制则是用于理论物理学。
这里会展示出麦克斯韦方程组的两种等价的表述。第一种表述以自由电荷和自由电流为源头，而不直接计算束缚电荷和束缚电流的贡献。束缚电荷出现于介电质；束缚电流出现于磁化物质。由于一般实际状况能够直接控制的是自由电荷和自由电流，束缚电荷和束缚电流是物质经过极化的产物，使用这种表述会使得在介电质或磁化物质内各种物理场的计算更加简易。第二种表述对于各种电荷或电流都一视同仁，将自
由电荷和束缚电荷综合为总电荷，又将自由电流、束缚电流和电极化电流综合为总电流。这种表述采用比较基础、微观的观点。当介电质或磁化物质不存在的时候，这种表述会显得特别有用。
以自由电荷和自由电流为源头的表述名称微分形式积分形式
高斯定律
高斯磁定律
法拉第电磁感应定律
麦克斯韦-安培定律
以总电荷和总电流为源头的表述名称微分形式积分形式
高斯定律
高斯磁定律
法拉第电磁感应定律
麦克斯韦-安培定律
以下表格给出每一个符号所代表的物理意义，和其单位：
物理意义和单位符号物理意义国际单位
电场伏特／米，牛顿／库仑
磁场特斯拉，韦伯／米2，伏特-秒／米2
电位移库仑／米2，牛顿／伏特-米
辅助磁场安培／米
散度算符／米
旋度算符
对于时间的偏导数／秒
曲面积分的运算曲面米2
路径积分的运算路径米
微小面元素矢量米2
微小线元素矢量米
真空电容率，又称为电常数法拉／米
真空磁导率，又称为磁常数亨利／米，牛顿／安培2
自由电荷密度库仑／米3
总电荷密度库仑／米3
在闭合曲面 里面的自由电荷库仑
党校学历 在闭合曲面 里面的总电荷库仑
自由电流密度安培／米2
总电流密度安培／米2
穿过闭合路径 所包围的曲面的自由电流安培
穿过闭合路径 所包围的曲面的总电流安培
ΦB穿过闭合路径 所包围的曲面 的磁通量特斯拉-米2，伏特-秒，韦伯
ΦE穿过闭合路径 所包围的曲面 的电通量焦耳-米/库仑
ΦD穿过闭合路径 所包围的曲面 的电位移通量库仑
麦克斯韦方程组通常应用于各种场的"宏观平均"。缩小至微观尺寸（microscopic
scale），邻近单独原子时，这些场会剧烈地变化，量子现象也会开始出现。所以，只有在宏观平均的前提下，物理量像物质的电容率和磁导率才会得到有意义的定义值。
[编辑] 历史
虽然有些历史学家认为麦克斯韦并不是现代麦克斯韦方程组的原创者，在建立分子涡流模型的同时，麦克斯韦的确独自地推导出所有相关的方程。现代麦克斯韦方程组的四个方程，都可以在麦克斯韦的1861年论文《论物理力线》、1865年论文《电磁场的动力学理论》和于1873年发行的名著《电磁通论》的第二册，第四集，第九章"电磁场的一般方程"里，到可辨认的形式，尽管没有任何矢量标记和梯度符号的蛛丝马迹。这本往后物理学生必读的教科书的发行日期，早于赫维赛德
、海因里希·赫兹等等的著作。
[编辑] 麦克斯韦方程组的演化
麦克斯韦方程组这术语原本指的是麦克斯韦于1865年在论文《电磁场的动力学理论》提出的一组八个方程。但是，现在常见的麦克斯韦方程组，乃是经过赫维赛德于1884年编排修改而成的四个方程[2]。同时期，约西亚·吉布斯和赫兹分别都研究出类似的结果。有很久一段时间，这些方程被总称为赫兹-赫维赛德方程组、麦克斯韦-赫兹方程组或麦克斯韦-赫维赛德方程组[3]
[2]。
四平王宇麦克斯韦写出的这些方程，对于电磁学的贡献，主要是在他1861年的论文《论物理力线》内，他将位移电流项目加入了安培定律，将安培定律修改成麦克斯韦-安培定律。这添加的项目使他后来在论文《电磁场的动力学理论》中，能够推导出电磁波方程，在理论上证明了光波就是电磁波。
麦克斯韦认为位势变量（电势和磁矢势）是他的方程组的中心概念。对于这想法，赫维赛德强烈地驳斥，认为位势属于形而上学的概念，只有电场和磁场才是最基础、最实际的物理量。他试着除去方程组内的位势变量。赫维赛德努力研究的结果是一双对称的方程[2]：
、
；
其中， 是包括位移电流密度在内的总电流密度， 是辅助磁场， 是电场， 是总磁流密度。
总磁流密度 定义为
；
其中， 是磁场， 是磁荷的运动所产生的磁流。
到现在为止，由于物理学家还没有到任何磁粒子， 可以设定为零。
[编辑] 论文《论法拉第力线》
主条目：论法拉第力线
在那时期的电磁学可以形容为众多实验结果和数学分析的大杂烩，急需整合成一套内外一致，有条有理的学术理论。装备着剑桥大学物理系对于物理学生精心栽培的比拟能力，麦克斯韦试图创建一个能够描述各种电磁现象的模型。在他的1855年论文《论法拉第力线》里，麦克斯韦将法拉第想出的力线延伸为装满了不可压缩流体的“力管”。这力管的方向代表力场（电场或磁场）的方向，力管的截面面积与力管内的流体速度成反比，而这流体速度可以比拟为电场或磁场。既然电场或磁场能够比拟为流体速度，当然可以要求电场或磁场遵守流体力学的部分理论。那么，借用流体力学的一些数学框架，即可推导出一系列初成形的电磁学雏论[4]。
[编辑] 论文《论物理力线》
主条目：论物理力线
分子涡流模型示意图：均匀磁场的磁力线从显示器往外指出，以黑矢点表示。六角形分子的涡流方向呈反时钟方向。绿圆球代表圆粒，旋转方向呈顺时钟方向。1861年，麦克斯韦提出了“分子涡流模型”。由于法拉第效应显示出，在通过介质时，偏振光波会因为外磁场
的作用，转变偏振的方向，因此，麦克斯韦认为磁场是一种旋转现象。在他设计的“分子涡流模型”里，他将力线延伸为“涡流管”。许多单独的“涡胞”（涡旋分子）组成了一条条的涡流管。在这涡胞内部，不可压缩流体绕着旋转轴以均匀角速度旋转。由于离心力作用，在涡胞内部的任意微小元素会感受到不同的压力。知道这压力的分布，就可以计算出微小元素感受到的作用力。透过分子涡流模型，麦克斯韦详细地分析与比拟这作用力内每一个项目的物理性质，合理地解释各种磁场现象和其伴随的作用力。 麦克斯韦对于分子涡流模型提出几点质疑。假设邻近两条磁力线的涡胞的旋转方向相同。假若这些涡胞之间会发生摩擦，则涡胞的旋转会越来越慢，终究会停止旋转；假若这些涡胞之间是平滑的，则涡胞会失去传播信息的能力。为了要避免这些棘手的问题，麦克斯韦想出一个绝妙的点子：他假设在两个相邻涡胞之间，有一排微小圆珠，将这两个涡胞隔离分开。这些圆珠只能滚动(rolling)，不能滑动。圆珠旋转的方向相反于这两个涡胞的旋转方向，这样，就不会引起摩擦。圆珠的平移速度是两个涡胞
的周边速度的平均值。这是一种运动关系，不是动力关系。麦克斯韦将这些圆珠的运动比拟为电流。从这模型，经过一番复杂的运算，麦克斯韦能够推导出安培定律、法拉第感应定律等等。
麦克斯韦又给予这些涡胞一种弹性性质。假设施加某种外力于圆珠，则这些圆珠会转而施加切力于涡胞，使得涡胞变形。这代表了一种静电状态。假设外力与时间有关，则涡胞的变形也会与时间有关，因而形成了电流。这样，麦克斯韦可以比拟出电位移和位移电流。不但是在介质内，甚至在真空（麦克斯韦认为没有完全的真空，乙太弥漫于整个宇宙），只要有磁力线，就有涡胞，位移电流就可以存在。因此，麦克斯韦将安培定律加以延伸，增加了一个有关于位移电流的项目，称为“麦克斯韦修正项目”。聪明睿智的麦克斯韦很快地联想到，既然弹性物质会以波动形式传播能量于空间，那么，这弹性模型所比拟的电磁场应该也会以波动形式传播能量于空间。不但如此，电磁波还会产生反射，折射等等波动行为。麦克斯韦计算出电磁波的传播速度，发觉这数值非常接近于，先前从天文学得到的，光波传播于行星际空间(interplanetary
space)的速度。因此，麦克斯韦断定光波就是一种电磁波。
现今常见的麦克斯韦方程组，在论文内出现了很多次：
在论文内，方程(56)是高斯磁定律：
;
其中， 是涡胞的质量密度，对应于磁导率， 、 、 分别为涡胞的周边
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