收稿日期：２０２１－０１－０９
基金项目：安徽理工大学人才引进基金项目“双掺ＳｒＴｉＯ３基壳核复合陶瓷的构筑及其磁电性能研究”（１３２００４２５）；安徽省教育厅质量工程项目“安徽理工大学大学物理教学团队”（２０１９ｊｘｔｄ０４６）；安徽省高校自然科学研究重点项目“双掺杂钛酸锶基壳核催化剂的构筑与磁光性能调控研究”（ＫＪ２０１９Ａ０１１７）
作者简介：汪月琴（１９８２—），女，安徽潜山人，副教授，博士，主要研究方向为光电系统与控制。
麦克斯韦方程组的拓展理论及其应用
汪月琴
（安徽理工大学力学与光电物理学院，安徽淮南２３２００１）
摘要：麦克斯韦提出的位移电流假设是让电场和磁场实现统一的重要理论。麦克斯韦方程组是无线通信和光子学的基础，其扩展形式还可作为量化电磁辐射和功率输出的计算理论。从麦克斯韦方程组出发，拓展电位移矢量的表达式，解析新方程组的通解形式，探讨如何基于极化场位移电流计算纳米发电机的电磁势和输出功率。 关键词：麦克斯韦方程；位移电流；电磁势；输出功率
中图分类号：Ｏ４４２ 文献标识码：Ａ 文章编号：２０９６－７９０Ｘ（２０２１）０５－０００１－０４ＤＯＩ：１０．１９５７６／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９６－７９０Ｘ．２０２１．０５．００１
ＥｘｔｅｎｄｅｄＴｈｅｏｒｙａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＭａｘｗｅｌｌ’ｓＥｑｕａｔｉｏｎｓ李汉昌
ＷａｎｇＹｕｅｑｉｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＯｐｔｏｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃＰｈｙｓｉｃｓ，ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＨｕａｉｎａｎＣｉｔｙ，ＡｎｈｕｉＰｒｏｖｉｎｃｅ２３２００１）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓｏｆＭａｘｗｅｌｌ’ｓｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｃｕｒｒｅｎｔｉｓｖｅｒｙｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｕｎｉｆｙｅｌｅｃｔｒｉｃａｎｄｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ．Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓｅｑｕａｔｉｏｎｓａｒｅｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｗｉｒｅｌｅｓｓｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎａｎｄｐｈｏｔｏｎｉｃｓ．ＴｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄＭａｘ
ｗｅｌｌ’ｓｅｑｕａ ｔｉｏｎｓｃａｎｂｅｕｓｅｄａｓｔｈｅｏｒｙｔｏｑｕａｎｔｉｆｙｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｒａｄｉａｔｉｏｎａｎｄｐｏｗｅｒｏｕｔｐｕｔ．ＳｔａｒｔｉｎｇｆｒｏｍｔｈｅＭａｘｗｅｌｌ’ｓｅ ｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｘｔｅｎｄｓｔｈｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｉｃｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｖｅｃｔｏｒｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｎｅｗｅ ｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌａｎｄｐｏｗｅｒｏｕｔｐｕｔｏｆｎａｎｏｇｅｎｅｒａｔｏｒｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｃｕｒｒｅｎｔｏｆｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎｆｉｅｌｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｘｗｅｌｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｃｕｒｒｅｎｔ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｐｏｗｅｒｏｕｔｐｕｔ
０ 引言
１８６１年麦克斯韦提出位移电流假设，首次建立了麦克斯韦方程组，实现了电和磁的统一。电磁波和光的理论是以麦克斯韦方程组为基础的，因此我们普遍认为麦克斯韦是现代光学和无线通讯领域的奠基人之一。随着新能源技术的发展，微纳能源、高压电源和自驱动传感网络得到了广泛应用，几乎覆盖了我们的生活。从物理学角度理解，微纳能源（纳米发电机）是基于位移电流作为驱动力，不断将微弱的机械能转化为电能或电信号。
鄞州区根据经典电动力学的介质极化理论，介质内部
变化的电场引起介质的极化珔Ｐ［１］
。在一般情形下，
如果存在压电电荷和摩擦电荷产生的非外加电场时，应变力的作用会在介质表面诱导表面静电荷，从而引起介质的表面极化珔Ｐｓ。２０１７年，王中林院士从麦克斯韦方程组出发，首次拓展了位移电流的形 式［２］
，非稳恒回路中的总的位移电流等于变化电场
的产生的位移电流与非外加电场（例如压电、热电、摩擦电等）引起的位移电流的和。理论证明在没有外加变化电场时，压电效应和摩擦效应均引起这种表面静电荷，导致新的位移电流产生。因此，拓展麦克斯韦方程组的表达式，当已知表面静电荷的分布函数，就可以计算纳米发电机的电磁场强度和输出
第２３卷 第５期
Ｖｏｌ．２３ Ｎｏ．５
黄河科技学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＡＮＧＨＥＳ＆ＴＣＯＬＬＥＧＥ
２０２１年５月
Ｍａｙ２０２１
功率。所以，本文从麦克斯韦方程组出发，给出势函数的通解形式，推导出适用任意纳米发电机的辐射电磁场理论通式，讨论位移电流和输出功率的关系。
１ 拓展的麦克斯韦方程组
在麦克斯韦提出涡旋磁场和位移电流假设的基础上，介质中麦克斯韦方程组的一般矢量微分形式为：
·珚Ｄ＝ρ
·珔Ｂ＝０ ×
珚Ｄ＝－ 珔Ｂ ｔ ×珚Ｈ＝珋Ｊ＋ 珚Ｄ圆柱凸轮
ｔ（１）
其中，方程（１）中的ρ为自由电荷密度，珋Ｊ是传
导电流密度，珚Ｄ是电位移矢量且珚Ｄ＝ε０珔Ｅ＋珔Ｐ。有外电场存在时，介质在电场力的作用下，介质分子发生位移极化或取向极化，使分子正负电荷中心不重合，形成大量的偶极子。由于外电场的存在导致介质发生极化，因此在各向同性均匀介质中，极化强度矢量
珔Ｐ与外电场珔Ｅ成正比，珔Ｐ＝（ε－ε０）珔Ｅ。当无外电场（珔Ｅ＝０）时，珔Ｐ＝０，此时没有位移电流。
然而，应变场也会导致介质发生极化，如应变产生的压电效应和摩擦电效应。在压电情形下，由于受外力作用发生机械应变时在晶体表面诱导离子移动产生表面极化电荷。在摩擦电情形下，两种材料间的物理作用产生表面摩擦电荷。为了解释接触电产生的静电荷对麦克斯韦方程的作用，提出在电位
移矢量珚Ｄ′中引入一个附加极化矢量珔Ｐｓ
，该项与应变场产生的表面电荷有关，与外电场无关［３］
。
珚Ｄ′＝珚Ｄ＋珔Ｐｓ＝ε珔Ｅ＋珔Ｐｓ
在各向同性均匀介质中，珚Ｄ＝ε０
珔Ｅ＋珔Ｐ＝ε珔Ｅ，则（１）式的麦克斯韦方程组可写为：
·珚Ｄ′＝ρ＋ ·珔Ｐｓ
·珔Ｂ＝０ ×珔Ｅ＝－ 珔Ｂ ｔ ×珚Ｈ＝珋Ｊ＋ε 珔Ｅ
ｔ＋
珔Ｐｓ
ｔ（２）因此，重新定义体电荷密度ρ′和电流密度珋Ｊ′，ρ′＝ρ＋ ·珔Ｐｓ
珋Ｊ′＝珋Ｊ＋
珔Ｐｓ
ｔ可以看出，在考虑应变力产生的表面极化的影响时，麦克斯韦方程仍然是满足协变的自洽方程组，
珔Ｐ′＝ρ′ ·珔Ｂ＝０ ×珔Ｅ＝－ 珔Ｂ ｔ ×珚Ｈ＝珋Ｊ′＋ε
珔Ｅ
ｔ（３）其中，变化的外电场产生的位移电流密度珋Ｊｄ＝
ε 珔Ｅ
ｔ，方程（３）中的第四式可表示成 ×珚Ｈ＝珋Ｊ′＋珋Ｊｄ。２ 势函数方程
当已知条件给定含时电荷密度ρ′（珋
ｒ，ｔ）和电流密度珋Ｊ′（珋ｒ，ｔ）时，可以根据麦克斯韦方程组计算电场珔Ｅ（珋ｒ，ｔ）和磁场珔Ｂ（珋ｒ，ｔ）。磁场是无源场（ ·珔Ｂ
＝０），引入磁标势珔
Ａ，取珔Ａ的旋度得磁感应强度。珔Ｂ＝ ×
珔Ａ（４）
根库仑规范条件（ ·珔
Ａ＝０）中的珔Ａ为无源场，电场分为库仑场（纵场）和感应电场（横场），因而电
场表示式：
珔Ｅ＝－ －
珔Ａ
ｔ（５）
将（４）和（５）式代入（３）第四式得到， ２
珔Ａ－１ｃ２ ２珔Ａ ｔ２ （ ·珔Ａ＋１ｃ２ ｔ＝－μ
珋Ｊ′（６）
前妻回来了txt下载应用洛伦兹规范条件， ·珔
Ａ＋１ｃ２
ｔ矢势满足二阶非齐次波动方程形式， ２
珔Ａ－１ｃ２ ２珔Ａ ｔ
２＝－μ
珋Ｊ′（７）
同理，将（４）和（５）式代入（３）第一式得标势
的非齐次达朗贝尔方程，
２
－１ｃ２ ２ ｔ２＝－
ρ
′ε（８）
上述（７）和（８）式是适用于洛伦兹规范的方程
组，势珔Ａ和 具有相同的对称形式。波动方程中电荷密度ρ′（珋ｒ，ｔ）和电流密度珋Ｊ′（珋ｒ，ｔ）
为自由项。从方程形式上看，矢势波动由电流产生，标势波动由电荷产生。在没有电流和电荷分布的区域，矢势和标势均在空间中以波动形式传播。解出珔Ａ和 ，就可以确定辐射电磁场。
３ 势函数的积分解
经拓展的新形式的麦克斯韦方程组（３）式完整地描述了电磁场与电流电荷的关系。首先，考虑ｔ时刻位于珋ｒ′处的点电荷，采用方程（８）并结合δ函数解出标势 的解，再对空间中所有电荷进行积分求和。令电荷源位置珋ｒ′到场点位置珋ｒ的距离为｜珋ｒ－珋ｒ′｜，考虑到电荷产生的物理作用是在较晚的时刻才能传播到场点，
ｔ′＝ｔ－｜珋ｒ－珋
ｒ′｜／ｃ电磁作用从源点珋ｒ′传播到场点珋ｒ所需的时间正是推迟时间｜珋ｒ－珋
ｒ′｜／ｃ。根据杰克逊的《经典电动力学》（第六章）的内容［４］
，推迟势的体积分通解形式：
２
黄河科技学院学报
珔Ａ（珋
ｒ，ｔ）＝μ４π∫珋Ｊ（珋ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋ｒ′｜ｄＶ′（９） （珋
ｒ，ｔ）＝１４πε∫
ρ′（珋
ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋ｒ′｜ｄＶ′（１０）势函数的解珔Ａ（珋ｒ，ｔ）和 （珋
ｒ，ｔ）满足洛伦兹规范条件，在空间珋ｒ点ｔ时刻测得的电磁场是由不同时刻的电流电荷激发。当纳米发电机在高频下运行时，用推迟势计算其空间任意点的电磁场强度。在低频情形下，纳米发电机的电磁辐射可以忽略。值得注意的是，电磁场也会反过来影响电荷电流分布，因而激发源的电荷电流是不可以任意选择的。
４ 电磁势的扩展形式
在实际应用中，存在压电或摩擦电效应时，应变
力在介质表面诱导静电荷，产生表面极化项珔Ｐｓ。假设电极上分布自由电荷ρ，外加导线连接一个外电
阻Ｒ
，如图１所示。如果介质表面电荷密度分布为σｓ
（珋ｒ，ｔ），考虑到非外加电场下应变力的极化作用，表面极化电荷密度，
时光之箭·珔Ｐｓ＝－σｓ
（珋ｒ，ｔ）δ（珋ｒ，珋ｒ′
）图１ 连接电阻Ｒ的纳米发电机示意图 其中，δ（珋ｒ，珋ｒ′）是用于限制介质的形函数，使得非外电场产生的极化电荷局域在介质表面。根据δ函数的奇异性，
δ（珋ｒ，珋
ｒ′）＝０珋ｒ≠珋
ｒ′∞珋ｒ
＝珋{ｒ′由（８）式可知表面极化电荷激发的标势 ｓ
（珋ｒ，ｔ）方程为：
２
ｓ（珋ｒ，ｔ）＝－ ·珔Ｐｓ＝σｓ
（珋ｒ，ｔ）δ（珋ｒ－珋ｒ′）其中，珔Ｐｓ＝－ ｓ（珋ｒ，ｔ），由珔Ｐｓ产生标势的积分
解为：
ｓ
（珋ｒ，ｔ）＝１４π∫
σｓ
（珋ｒ′，ｔ′）δ（珋ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋
ｒ′｜ｄＶ′＝
１４π∫
σｓ
（珋ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋
ｒ′｜ｄｓ′（１１）
因此，当介质移动速度远远小于光速时，表面电
荷密度产生的极化矢量珔Ｐｓ可写成：
珔Ｐｓ＝－ ｓ（珋ｒ，ｔ）＝１４π∫
σｓ（珋ｒ′，ｔ′）（珋ｒ，珋ｒ′）｜珋ｒ－珋
ｒ′｜３ｄｓ′考虑自由电荷和表面极化电荷产生的标势之和，空间总的电势，
ｓ
（珋ｒ，ｔ）＝１４πε∫
ρ（珋
ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋ｒ′｜ｄＶ′＋１４π
∫
σｓ
（珋ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋
ｒ′｜ｄｓ′（１２）
由（２）和（９）式得极化珔Ｐｓ产生矢势珔Ａｓ
（珋ｒ，ｔ）的积分解，
珔Ａｓ
（珋ｒ，ｔ）＝μ４π
∫
珚Ρｓ
（珋ｒ′，ｔ′） ｔ｜珋ｒ－珋
ｒ′｜ｄＶ′＝μ１６π２∫ｄＶ′｜珋ｒ－珋ｒ′｜∫
σｓ
（珋ｒ′，ｔ′） ｔ珋ｒ－珋ｒ′｜珋ｒ－珋
ｒ′｜３
ｄｓ′（１３）考虑传导电流和位移电流共同作用产生势，空
间总的矢势，
珔Ａ（珋
ｒ，ｔ）＝μ４π∫
珋Ｊ（珋ｒ′，ｔ′）｜珋ｒ－珋
ｒ′｜ｄＶ′＝μ１６π２∫ｄＶ′｜珋ｒ－珋ｒ′｜∫
σｓ
（珋ｒ′，ｔ′） ｔ珋ｒ－珋ｒ′｜珋ｒ－珋
ｒ′｜３
ｄｓ′（１４）该矢势解的第一项是传导电流流过导线表面产
生的矢势，第二项是表面极化引起的极化场变化产
生位移电流激发的矢势。引入势珔Ａ
和 是电磁场的一种描述方法，由它们导出的电磁场珔Ｅ和珔Ｂ也是以波动形式在空间传播。
５ 位移电流与能量输出关系
拓展的麦克斯韦方程组除了计算空间势场的分布，还被广泛应用于计算时变电磁场下纳米发电机的能量输出。根据麦克斯韦方程组推导出来的瞬时
功率流密度（坡印廷矢量珔
Ｓ）的表示式：珔Ｓ＝珔Ｅ×珚Ｈ＝１μ
（珔Ｅ×珔Ｂ）
坡印廷矢量通过任意截面积的积分总和即为瞬时功率。以连接一个负载Ｒ的纳米发电机回路为例，计算其能量输出大小。通过外电路的导线中的
传导电流为Ｉ，导线半径为ｒ，由焦耳定律珋Ｊ＝σ珔Ｅ和安培环路定理 珚Ｈ·ｄ珋ｌ＝Ｉ可推导出流过导线表面
３
汪月琴：麦克斯韦方程组的拓展理论及其应用
的坡印廷矢量，
珔Ｓ＝珔Ｅ×珚Ｈ＝－Ｉ２πｒＪσ珋ｅｒ
＝－Ｉ２πｒＩσπｒ２珋ｅｒ＝－Ｉ２
２π２σ
ｒ３
珋ｅｒ珋ｅｒ是沿导线径向的单位矢量。上式计算得到的
珔Ｓ是从导线表面流入的电磁场能流，即导线内部热损耗功率，
Ｐ＝－ 珔Ｓ·ｄ珋ｓ＝－
珔Ｓ·珋ｅｒ
ｄｓ＝－Ｉ２
２π２σｒ３×２πｒｌ＝Ｉ２ｌσπｒ()
２
＝Ｉ２
Ｒ（１５）在非稳恒电路中，外电路主要是传导电流的流
动产生热损耗，而内电路主要是变化的电场和变化的表面极化场激发位移电流，位移电流不产生焦耳热
［５］
。在内电路中，位移电流密度沿表面的积分即
位移电流，
Ｉｄ＝∫
珋Ｊ′ｄ
·ｄ珋ｓ＝∫ｓε 珔Ｅ ｔ＋ 珔Ｐｓ
()
ｔ·ｄ珋ｓ麦克斯韦位移电流是由变化外电场和变化表面
极化场共同产生的。基于压电、热电和摩擦电效应的纳米发电机，其内部的位移电流充当驱动力收集周围环境中的机械能并将其转化为电能。由于纳米发电机的高电压输出特性，使得其在低频情形下也可以有效地将废物能量转化为电能。如图１所示，导线连接电极Ａ和电极Ｂ，两极间的电势差，
∫ＢＡ
珔Ｅ·ｄ珋ｌ＝－
ｌ 珔Ａ ｔ·ｄ珋ｌ＋Ｉｄ
Ｒ（１６）结合（４）式以及矢势珔Ａ
湖南纺织专科学校的环量的物理意义可得：
∫
ｓ
珔Ｂ·ｄ珋ｓ＝∫ｓ
×珔Ａ·ｄ珋ｓ＝ ｌ
珔Ａ·ｄ珋ｌ则（１６）式中的矢势的微分沿闭合回路的积分，
珔Ａ ｔ·ｄ珋ｌ＝ ｔ∫
ｓ
珔Ｂ·ｄ珋ｓ＝０因此，对任意结构形状的纳米发电机，电流传输产生的电势差都可以表示成：
∫
Ａ
Ｂ
珔Ｅ·ｄ珋ｌ＝Ｉｄ
Ｒ得能量输出功率：
Ｐ＝ＵＡＢＩｄ＝Ｉ２
ｄ
Ｒ（１７）
根据电流的连续性定理，非稳恒电路中的传导
电流Ｉ等于位移电流Ｉｄ。实际由麦克斯韦方程推导出来的外电路导线内部热损耗功率等于纳米发电机的能量输出功率。式（１５）—（１７）已广泛应用于计算接触分离式、横向滑动式、单电极模式和自支撑模式的纳米发电机的能量输出功率。微纳能源发电机的输出功率与负载大小和位移电流有关，负载越大输出功率就越大。
６ 结语
目前，发电机朝着纳米尺寸、高输出方向发展，通过结构和材料优化均可提高其输出性能。因此，评价不同模式、不同结构的纳米发电机的能量输出性能必须有一个统一的标准。最近，訾云龙教授提出将结构品质因数作为评价纳米发电机性能的标准，通过解析计算和有限元模拟得出结构品质因数，
并对三维结构的单电极模式进行了数值计算［６］
，为
我们从结构和材料方面评价纳米发电机的输出性能提供了标准方法。
参考文献：
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ｒｉａｌｓＴｏｄａｙ，２０１７，２０（２）：７４－８２．
［３］ＷＡＮＧＺＬ．Ｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｐｒｉｎｃｉｐｌｅｔｈｅｏｒｙｏｆｎａｎｏｇｅｎｅｒａｔｏｒｓｆｒｏｍｍａｘｗｅｌｌ’ｓｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＮａｎｏＥｎｅｒｇｙ，２０１９，
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［５］刘伟伟．位移电流在麦克斯韦方程组中的重要作用［Ｊ］．沧州师范学院学报，２０１２，２８（１）：３２－３６，３９．［６］ＺＩＹＬ，ＮＩＵＳＭ，ＷＡＮＧＪ，ｅｔａｌ．Ｓｔａｎｄａｒｄｓａｎｄｆｉｇｕｒｅ－ｏｆ－ｍｅｒｉｔｓｆｏｒｑｕａｎｔｉｆｙｉｎｇｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｒｉｂｏｅｌｅｃ
ｔｒｉｃｎａｎｏｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．ＮａｔｕｒｅＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１５，６：８３７６．
４
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