第一章：基本概念
1. Stern －Gerlach 实验
●容易体现与经典力学的根本差别； ●容易体现量子力学的核心－测量问题； ●二能级系统是最量子的体系。
1）结果
加热的银原子束通过不均匀磁场后分裂为两束。 2）分析 ● 磁场相互作用导致分裂，必是原子的磁矩M 引起的，相互作用势 V M B =-
。
。
● 原子感受到的力 z z z z B B F V M e J e z z
∂∂=-∇=∝∂∂
分裂成对称的上下两束→角动量在磁场方向（Z ）只有大小相等方向相反的两个分量。如果这个角动量是由于原子本身转动引起的，热原子的角动量方向将是随机分布的，大量原子通过磁场后在屏上会有一个对称的连续分布，而不是一个分离的两分量分布。因此力不是由轨道角动量产生的。 银原子有47个电子，其中46个是满壳分布，球对称，整体不显示角动量。银原子的角动量完全是由那个价电子引起的。分离的二分量分布说明是由价电子的内禀角动量引起的，
记为s
，z s 只有两个大小相等方向相反的值z s +和z s -。 3）量子性质
●存在自旋角动量，是内禀物理量（与时空无关）； ●自旋角动量的取值不连续。
●磁场起的是测量作用。用Z 方向的磁场测量Z 方向的角动量。
x
y
z
4）级联Stern －Gerlach 实验
图1
入射原子束先后经过两个Z 方向的磁场，见图1上部。在第二个磁场之前z s 有确定值z s +，故在磁场中原子感受的力是确定的，在第二个磁场之后z s 仍然有确定值z s +。
现在让入射原子束经过Z 和X 方向的两个磁场，见图1中部。在第二个磁场中原子感
受的力x x B F J e x
∂∝∂ 。在第二个磁场之后观察到原子束分裂，说明在第二个磁场之前x s 有两
个值x
s +和x s -两个分量（虽然z s 有确定值z s +）。 ●量子性质：当z s 有确定值时，x s 没有确定值。z s 和x s 不能同时有确定值！
再让入射原子束经过Z ，X 和Z 方向的三个磁场，见图1下部。最后观察到z s 有z s +和z s -
S
N
S
N S z
+
S z -
S z +
S z +
S z -
S N
S
N
S x -
S x ＋
强卫任江西省委书记S N
S z +
S z -
S N
S x +
S x -
S N
S z +
S z -
两个分量，说明在第三个磁场之前z s 有两个值z s +和z s -两个分量（虽然x s 有确定值x s +
）。
●量子性质：当x s 有确定值时，z s 也没有确定值。x s 和z s 不能同时有确定值！ 5）与经典电磁波的类似性（实物粒子与光波的类似性）
沿Z 方向传播的电磁波先后经过只允许X 方向的波通过的滤波器（X filter ）和只允许Y
方向的波通过的滤波器（Y filter ）后全部消失。
00(,)()cos()
cos() 0
x y x E r t E e e kz t X filter E e kz t Y filter ωω=+--
在X filter 和Y filter 之间放一个X’ filter ，X’与X ，Y 都是45度角，则最后仍然有Y 方向
的电磁波观察到。
2012河北中考作文00''0'(,)()cos()
cos())cos() X' cos()()cos()
2 Y x y x
x y x x y E r t E e e kz t X filter E e kz t e e kz t E filter kz t e e kz t filter ωωωωω=+--=---=+-
0 cos()2y
network ntrE e kz t ω-
类似性：,,x y z s s s 和'',x y E E 都可看成二分量矢量 不同：s
是内禀角动量，量子力学量；E 是空间相关力学量，经典力学量。 x filter
x ’ filter y filter
x filter
y filter
2. 线性矢量空间
从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影n s 只能取两个值，可将n s 看成是一个二维矢量。为了建立量子力学的数学描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3维矢量空间
任意矢量：
a
基矢： , 1,2,3n e n =
基矢完备性：
31
n n
n a a e ==∑
内积： ,n m n m n m
a b a b e e ⋅=⋅∑
矢量模方： 0a a ⋅≥
若基矢正交归一：n m nm e e δ⋅=
有内积矩阵形式：n n n a b a b ab ⋅==∑ ，其中矩阵123, b b b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 是123a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
的转置矩阵123(,,)a
a a a = 矢量的分量（矩阵元）：n n a e a =⋅
a 是矢量的抽象形式或一般形式，矩阵a 是矢量a
在某个具体坐标系（表象）的表示。
矩阵元与基矢的选取有关，例如直角坐标与球坐标中的表示是不同的。
对矢量的运算，例如平移，旋转等（算符）：ˆTa
b = ，仍然是3维空间中的一个矢量。 2）Hilbert 空间
将3维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间：
3维→任意有限维，无限维，连续维
常矢量→复变函数矢量
用Dirac 符号（右矢）表示任意矢量： a
对于复矢量，引入左矢a 表示其复共轭矢量。左矢与右矢并不互相独立，而是互为复共轭：
a ↔ a 。
利率汇率一个矢量既可以用右矢a ，也可以用左矢a 表示。
在复变函数矢量空间，常数一般也是复数，有
a α↔ *a α 。
对于复空间中的运算（算符）ˆT
： ˆˆ T
a a T +↔ ， ˆT
平痛新
+是右算符ˆT 的对应左算符，称为厄米共轭算符。注意 ˆˆˆˆˆˆ=() TF a T F a a F
T ++↔。 进入具体表象，以N 维离散空间为例。 基矢： , 1,2,.....n n = 基矢完备性：
n n
a a n
=∑， *
n n
a n a =∑ （矢量的具体表示）
内积： *
,n m n m
a b a b n m =∑ 是一个复数。
矢量模方： 0a a ≥ （只有定义a 与a 互为复共轭，才能保证矢量模方大于零）
迷途的女人
归一化矢量：
如果定义, a
a = 有 1a
a = ，称为归一化。 基矢正交归一： nm n m δ=
内积矩阵形式： *n n
n
a b a b a b +==∑，其中列矩阵12N b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，行矩阵a +是12N a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的厄米共厄（转置复共轭）矩阵()*
**1
2N a a a a += 。
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