第一章 误差分析
一、真值与平均值
1、真值：指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。
2、平均值
（1）算术平均值：
同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。
（2）加权平均值：
（3）对数平均值：，试验数据的分布曲线具有对称性
（4）几何平均值：
（5）调和平均值：
二、误差的基本概念
2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。
3、算术平均误差
4、标准误差
（1）样本标准差
（2）总体标准差
三、误差来源及分类
根据误差的性质或产生原因，可分为随机误差、系统误差、粗大（过失）误差。
1、随机误差：在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；
2、系统误差：在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差；
3、粗大（过失）误差：一种显然与事实不符的误差。
四、试验数据的精准度
1、精密度：反映随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或一致程度；
2、正确度：指大量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的一致程度，反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合；
3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与真值或标准值的一致程度。
五、试验数据误差的统计检验
1、随机误差的检验
随机误差的大小可用试验数据的精密程度来反映，而精密度的好坏又可用方差来度量，所以对测试结果进行方差检验，即可判断随机误差之间的关系。 （1）检验
总体方差已知，数据服从正态分布（i=1,2，…，n）
（S2为样本方差，为原总体方差）
由显著水平或0.05可查得临界值；
①双侧检验：若，则可判断该组数据的方差与总体方差无显著差异，否则有。
②单侧检验：
1）左侧检验：若，则方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小；
2）右侧检验：若，则方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大；
（2）F检验（适用于两组具有正态分布的试验数据之间的精密度比较）
与都服从正态分布，样本方差为和
，由（显著度）查F分布表，可得临界值。
①双侧检验：若，则无显著差异，否则有。
②单侧检验：
1）左侧检验：若，则无显著减小，否则有；
2）右侧检验：若，则无显著增大，否则有
2、系统误差的检验
（1）t检验法
1）平均值与给定值比较
，其中：—试验值的算术平均值；S—n（n＜30）个试验值的样本标准差；—给定值。
①双侧检验：若，则该组数据的平均值与给定值无显著差异，否则有；
②单侧检验：
A. 左侧检验，若，则无显著减小，否则有；
B. 右侧检验，若，则无显著增大，否则有。
2）两个平均值的比较 与都服从正态分布
①两组数据无显著差异时，，
②两组数据有显著差异时，，
A. 双侧检验：，则两平均值无显著差异，否则有；
B. 单侧检验：
a. 左侧检验，若，则1比2无显著减小，否则有；
b. 右侧检验，若，则1比2无显著增大，否则有。
3）成对数据的比较
与
，d0可取0或给定值，是n对数据之差的样本标准差，，为成对测定值之差的算术平均值
如果，则成对数据之间不存在显著的系统误差，否则有。
（2）秩和检验法
与相互独立，假设n1≤n2
1）将这两组数据混在一起，按从小到大的顺序排列，每个试验值在序列中的次序叫做该值的秩。
2）将属于第一组数据的秩相加，其和记为R1，称为第一组数据的秩和。
3）对于给定的显著性水平α和n1、n2，由秩和临界值表可查得R1的上限T1和T2。如果R1＞T2或R1＜T1，则认为两组数据有显著差异，否则无。
注：几个数据相等时，它们的秩等于相应几个秩的算术平均值。
3、异常值的检验
拉依达检验法、格拉布斯检验法、狄克逊检验法
六、有效数字和试验结果的表示
1、有效数字：能够代表一定物理量的数字。
2、有效数字的运算：
（1）加、减运算，结果的小数位数应与其中小数位数最少的数据；
（2）乘、除运算，以有效位数最少的数据位数为准；
（3）乘方、开方运算，结果的有效数字应与其底数相同；
（4）对数运算，对数的有效数字与其真数相同；
3、有效数字的修约规则：
（1）舍去数字的最左一位数字＜5，舍去；
（2）舍去数字的最左一位数字≥5，且其后跟有非零数字时，末位数字+1；
（3）舍去数字的最左一位数字＝5，且其右无数字或皆为0时，末位数凑成偶数。
七、误差的传递
根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差，就是误差传递问题。某些误差传递公式如下表。
函数 | 最大绝对误差△y | 标准误差sy |
| 新标准英语第三册 | |
| | |
| | |
| | |
| | | 工商银行山东省分行
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第二章 试验数据的表图表示法
1、列表法：记录表和结果表示表。
2、图示法：线图、XY散点图、条形图和柱形图、圆形图和环形图、三角形图、三维表面图、三维高等线图
第三章 试验的方差分析
单因素试验的方差分析
单因素试验数据表
试验次数 | A1 | A2 | | Ai | | Ar |
1 | x11 | x21 | | xi1 | | xr1 |
2 | x12 | x22 | | xi2 | | xr2 |
| | | | | | |
j | x1j | x2j | | xij | | xrj |
| | | | | | |
ni | x1n1 | x2n2 | | xinj | | xrnr |
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1、基本步骤
（1）计算平均值
（2）计算离差平方和
1）总离差平方和：
2）组间离差平方和：
3）组内离差平方和：
三者关系为：
（3）计算自由度
1）SST对应的自由度称为总自由度，即dfT=n-1；
2）SSA对应的自由度称为组间自由度，即dfA=r-1；
3）SSe对应的自由度称为组内自由度，即dfe=n-r；
三个自由度的关系：dfT=dfA+dfe。
（4）计算平均平方
1）组间均方：MSA=SSA/dfA；
2）组内均方（误差均方）：MSe=SSe/dfe。
（5）F检验
对于给定的显著性水平α，查表得临界值，如果，则认为因素A对试验结果有显著影响，否则因素A对试验结果没法拉奇有显著影响。
单因素试验的方差分析表
方差来源 | 平方和 | 自由度 | 方差 | F值 | 显著性 |
组间（因素A） | SSA | r-1 | | | |
组内（误差） | SSe | n-r | |
总和 | kbs超级中国SST | n-1 | |
| | | | | |
1）若，则称因素A对试验结果有非常显著的影响，即高度显著（**）；
2）若，则因素A对试验结果有显著的影响，即显著（*）；
3）若，则因素A对试验结果的影响不显著。
2、方差分析处理实例（《试验设计与数据处理》P70）
例3-1：为考察温度对某种化工产品得率的影响，选取了五种不同的温度，在同一温度下各做三次实验，试验数据如下表。试问温度对得率由于显著影响。
温度/℃ | 产品得率/% |
60 | 90 | 92 | 88 |
65 | 97 | 93 | 92 |
70 | 96 | 96 | 93 |
75 | 84 | 83 | 88 |
80 | 84 | 86 | 82 |
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解：（1）计算平均值
依题意，本题为单因素试验的方差分析，单因素为温度，有5种水平，即r=5，在每种水平下做了3次试验，故ni=3（i=1,2，…，5），总试验次数n=15。有关的计算如下表。
温度/℃ | 产品得率/% | 试验次数ni | 组内和Ti | 组内平均 | 总平均 |
60 | 90 | 92 | 88 | 3 | 270 | 90 | 89.6 |
65 | 97 | 日本历史教科书问题93 | 92 | 3 | 282 | 94 |
70 | 96 | 96 | 93 | 3 | 285 | 95 |
75 | 84 | 83 | 88 | 3 | 255 | 85 |
80 | 北京协和医院皮肤科 84 | 86 | 82 | 3 | 252 | 84 |
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（2）计算离差平方和
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