【例1】如果三条线段的长a，b，c 满足b a ＝c b ＝5－1
2，那么这三条线段叫做“黄金线段组”．“黄金线段组”
中的三条线段（）
A．必构成锐角三角形B．必构成直角三角形C．必构成钝角三角形
D．不能构成三角形
【例2】已知C 是线段AB 上的一个点(AC＞BC)，有以下命题：其中正确的有。
①若AC AB ＝BC
AC ，则C 是线段AB 的黄金分割点；
②若
AC AB ＝5－1
2
，则C 是线段AB 的黄金分割点；③若BC AC ＝5－12
，则C 是线段AB 的黄金分割点；
④若AC 2
＝BC·AB，则C 是线段AB 的黄金分割点。
【例3】已知P，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB＝10，则PQ 的长为。
【例4】宽与长的比是
5－1
2
(约0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们 可以用这样的方法画出黄金矩形：如图K－29－1②，作正方形ABCD，分别取AD，BC 的中点E，F，连结EF；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
【例5】从美学角度来说，人的上身长与下身长的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约
cm 的高跟鞋才能达到更好的效果．(精确到0.01cm)
【例6】如图所示，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S
2
表示长
是AB，宽是PB的矩形的面积，则S
1S
2
（填“＞”“＝”或“＜”）。
【例7】求下列各组数的比例中项．
（1）－5，－125；（2）5－1
2
，
血透机
5＋1
2
。
【例8】如图，某种乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点．试确定BC，AD以及CD的长。
【例9】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，得到点B的新位置B′，因而EB′＝EB.类似地，通过折叠使EA在AB上得到点B′的新位置B″，使AB″＝AB′，这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论。
【例10】以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取一点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示。
（1）求AM，DM的长；（2）求证：M是线段AD的黄金分割点。
【例11】如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B 的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长
的比）等于黄金比
。
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长；
③在直线AB 或BC 上是否存在点P（点A、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
【例12】如图，用长为40cm 的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）。（1）若这个矩形的面积等于99cm 2
，求AB 的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm 2吗？若能，求出AB 的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD 与AB 之比等于黄金比
），求该矩形的面积。（结果保留根号）
【例13】如图①，点C 将线段AB 分成两部分，如果
AC AB ＝BC
AC
，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分
别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2
鳏夫的房产
聚甲醛S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线。
（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线。你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E，再过点D 作直线DF∥CE，交AC 于点F，连结EF(如图③)，则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．
4.1比例线段（3）黄金分割--每日好题挑选-答案
【例1】D。解：∵b a ＝c b ＝5－12，∴b＝5－12a，c＝5－12b＝
6－2
54a，
∴b＋c＝
5－12a＋6－25
4
a＝a，∴三条线段a，b，c 不能构成三角形．
【例2】①③④。【例3】10(
5－2)。解：由黄金分割的意义可得PQ＝10×
5－12－（1－5－1
2）＝10(
5－2)．
【例4】D。解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1，在Rt△DCF 中，DF＝12＋22
＝5，汽弹
∴FG＝5，∴CG＝5－1，∴CG CD ＝5－12
，∴矩形DCGH 为黄金矩形．【例5】7.00
【例6】＝。解：根据黄金分割的定义得到PA 2＝PB·AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S 1＝PA 2
，S 2＝PB·AB，即可得到S 1＝S 2。∵P 是线段AB 的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA 2
＝PB·AB.又∵S 1是以PA 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB，宽是PB 的矩形的面积，∴S 1＝PA 2，S 2＝PB·AB，∴S 1＝S 2。
【例7】解：（1）设比例中项为x，则x 2
＝(－5)×(－125)＝625，∴x＝±25，∴－5，－125的比例中项为±25.（2）设比例中项为x，则x 2
＝
5－12×5＋12＝1，∴x＝±1，∴5－12，5＋12
的比例中项是±1.【例8】解：∵AC＝BD＝
5－1
2
×80＝(405－40)cm，∴BC＝AD＝80－(405－40)＝(120－405)cm，∴CD＝AC－AD＝(405－40)－(120－405)＝(805－160)cm.【例9】解：设正方形ABCD 的边长为2，∵E 为BC 的中点，∴BE＝1，
∴AE＝AB 2
＋BE 2
＝5，又∵B′E＝BE＝1，∴AB″＝AB′＝AE－B′E＝5－1，∴AB″∶AB＝(5－1)∶2，∴B″是线段AB 的黄金分割点。
【例10】解：(1)∵正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点，∴AB＝AD＝2，AP＝1，∠BAD＝90°，∴PD＝AP 2
＋AD 2
＝5，∴A M＝AF＝5－1，DM＝AD－AM＝3－ 5.（2）证明：由(1)得AD·DM＝2(3－5)＝6－2
5，又∵AM 2＝(5－1)2＝6－25。
∴AM 2
＝AD·DM，即M 是线段AD 的黄金分割点．
【例11】解：（1）∵BD=DC=AC，则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A，设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°，∴x+2x=108，x=36°，∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC，∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC 是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°，∴△CDA 是黄金三角形，或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°，又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB，∴BA=BC，∴△BAC 是黄金三角形．
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②△BAC
是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴
AC=．
∵
BA=BC=2，BD=AC=，∴AD=BA-BD=2-（）=3-，
③存在，有三个符合条件的点P 1、P 2、P 3．
ⅰ）以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB、BC 得到点P 1、P 2。ⅱ）以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点P 3。【例12】解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，
整理得x 2
﹣20x+99=0，解得x 1=9，x 2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB 的长为11cm；
（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x 2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm 2
；
（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（
﹣1），则20﹣x=10（3﹣
），所以矩形的面积=10（
﹣1）•10（3﹣
）=（400
﹣800）cm 2
．
【例13】解：（1）对。
理由如下：设△ABC 中边AB 上的高为h.则S △ADC ＝12AD·h，S △BDC ＝12BD·h，S △ABC ＝1
2
AB·h，
∴
已二酸S △ADC S
△ABC
＝AD AB
，
S △BDC S
△ADC
＝
BD
AD ，又∵点D 为AB 边的黄金分割点，∴AD AB ＝BD
AD
，∴S
△ADC S
△ABC ＝
S △BDC
S △ADC
，
∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．
（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时S 1＝S 2＝12S，即S 1S ≠S 2
S 1
，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
（3）∵DF∥CE，∴△DEC 和△FCE 的公共边CE 上的高相等，∴S △DEC ＝S △FCE .设直线EF 与CD 交于点G，∴S △DGE ＝S △FGC ，∴S △ADC ＝S 四边形AFGD ＋S △FGC ＝S 四边形AFGD ＋S △DGE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .
又∵
S △ADC S
△
ABC
＝
S △BDC
S
△
ADC
，∴
S △AEF S
△
ABC
＝
S 四边形BEFC
S
△AEF
，∴直线EF 也是△ABC 的黄金分割线。
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