LDPC编码MC-LDS系统联合因子图的改进PEG设计

doi :10.3969/j.issn.1001-893x.2021.02.003

引用格式：刘田，张毅，余湋，等.LDPC 编码MC -LDS 系统联合因子图的改进PEG 设计[J].电讯技术,2021,61(2):143-148.[LIU Tian,

ZHANG Yi,YU Wei,et al.Improved PEG design of joint factor graph for LDPC coded MC -LDS systems[J].Telecommunication Engineering,

2021,61(2):143-148.]

LDPC 编码MC -LDS 系统联合因子图的改进PEG 设计

∗

刘㊀田1，张㊀毅∗∗

1，余㊀湋1，夏㊀斌2，王㊀瀚2，高㊀航2

(1.中国西南电子技术研究所，成都610036;2.上海交通大学电子工程系上海200240)

摘㊀要：作为非正交多址(Non -orthogonal Multiple Access ,NOMA )技术之一，基于稀疏因子图的多载

波低密度序列(Multi -carrier Low -density Signature ,MC -LDS )技术由于其译码复杂度较低，可以与同样基于稀疏因子图的低密度奇偶校验码(Low Density Parity Check Code ,LDPC )同时使用㊂MC -LDS 技术的检测算法和LDPC 的译码算法都是基于稀疏因子图上的消息传递算法(Message Passing Algo-rithm ,MPA )，但现有研究中，对于MC -LDS 和LDPC 稀疏因子图的设计一般独立进行，得到的结果往往不是最优的㊂为此，提出一种将LDPC 与MC -LDS 稀疏因子图进行联合分析设计的方法，采用改进的渐进边增长(Progressive Edge Growth ,PEG )方法，消除了MC -LDS 与LDPC 联合因子图中各自的因子图之间互相耦合导致的短环，构建了性能良好的联合稀疏因子图㊂仿真结果表明，对于不同的LDPC 码长，所提方案获得了0.5~0.6dB 的性能增益㊂

关键词：非正交多址；多载波低密度序列；低密度奇偶校验码；联合因子图；改进的渐进边增长

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中图分类号:TN911㊀㊀文献标志码:A㊀㊀文章编号:1001-893X (2021)02-0143-06

Improved PEG Design of Joint Factor Graph for

LDPC Coded MC -LDS Systems

LIU Tian 1

,ZHANG Yi 1

,YU Wei 1

,XIA Bin 2

,WANG Han 2

,GAO Hang 2

(1.Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu 610036,China;

2.Department of Electronic Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

Abstract :As one of the non -orthogonal multiple access(NOMA)technologies,the multi -carrier low -den-sity signature(MC -LDS)technology based on the sparse factor graph can be used simultaneously with low density parity check(LDPC)code since both of them are based on the sparse factor graph.The detection algorithm of MC -LDS technology and the decoding algorithm of LDPC are both based on the message pass-ing algorithm(MPA)on the sparse factor graph.However,in existing researches,MC -LDS and LDPC sparse factor graphs are generally designed independently.The results obtained are often not optimal.There-fore,a method for joint analysis and design of LDPC and MC -LDS sparse factor graphs is proposed.The improved progressive edge growth(PEG)method is used to eliminate the short loop caused by mutual cou-pling between the factor graphs of LDPC and MC -LDS.Therefore,a joint sparse factor graph with good per-formance is constructed.The simulation results show that the proposed scheme obtains 0.5~0.6dB bit er-ror rate gain for LDPC codes with different length.

Key words :NOMA;MC -LDS;LDPC;joint factor graph;improved progressive edge growth method

㊃

341㊃第61卷第2期2021年2月

电讯技术

Telecommunication Engineering

Vol.61,No.2

February,2021

∗∗∗收稿日期:2020-08-27；修回日期:2020-11-10通信作者:zhangyi_uestc@sina

0㊀引㊀言

天基物联网利用天基信息传感设备，把世界上地面网络不能连接的物品与国际物联网/专用网络连接起来，实现对物品的智能化识别㊁定位㊁跟踪监控和管理，实现物与物㊁人与物㊁人与人之间无处不在，无时不通的通信㊂

在天基物联网覆盖的小区远远大于地面小区的前提下，一方面会面临更严峻的时频资源受限，同时接入用户受限的问题格外严重㊂因此，相较于正交接入方案，非正交多址技术由于可以在相同的资源上

接入更多的用户，近年来受到了广泛关注[1-2]㊂作为基于码域复用的非正交多址接入(Non-orthogo-nal Multiple Access,NOMA)技术，多载波低密度序

列(Multi-carrier Low-density Signature,MC-LDS)技术在解决海量连接的问题方面提供了思路㊂在MC -LDS系统中，利用发射机处精心设计的低密度序列(Low Density Signature,LDS)矩阵，已编码的比特信息在多个子载波资源上进行扩频[2]㊂在接收机处，稀疏因子图上的消息传递算法(Message Passing Algorithm,MPA)或置信度传播(Belief Propagation, BP)算法以迭代的方式为MC-LDS系统实现近乎最佳的多用户检测(Multiuser detection,MUD)[2]㊂得益于发送端的资源复用和接收机的非线性检测算法,MC-LDS系统可实现更高的吞吐量和更多的连接数量㊂但是，在实际系统中，多用户共用资源引入的多用户干扰是一个严重的问题，对传输可靠性造成了极大的影响㊂在通信系统中，信道编码作为一种抵抗信道干扰噪声的技术㊂因此，将MUD 和前向纠错(Forward Error Correction,FEC)码结合起来设计是解决多用户干扰问题的一种可行途径㊂低密度奇偶校验码(Low Density Parity Check Codes,LDPC)是一类稀疏的FEC，其性能接近香农容量[3]㊂LDPC码的解码利用基于稀疏校验矩阵的BP算法来实现，该矩阵可以用一个稀疏因子图等效表示[3]㊂与传统的串行接收机先进行MUD再进行LDPC译码不同，联合检测译码接收机基于联合稀疏因子图上的MPA[4]，该联合稀疏因子图可以将MC-LDS技术的因子图和LDPC码的稀疏因子图结合在一起㊂联合检测译码接收机在每次迭代中完全交互MC-LDS与LDPC的检测软信息和解码信息，显示出比分别单独译码的方案具有更好的性能㊂然而，

在目前关于LDPC码和MC-LDS矩阵构造问题的相关研究中,MC-LDS和LDPC的构造通常分开进行研究，得到的结果在联合编码调制系统中往往不是最优的[5-7]㊂在这些方法中，代表因子图中短环长度的围长是特别重要的设计参数，因为当周长较小时，系统的误码性能会变差㊂但是,MC-LDS技术与LDPC码的联合稀疏因子图不仅具有MC-LDS部分和LDPC部分的各个环，而且在两个部分之间有交叉的环，这使得较短的环在MC-LDS 与LDPC码的联合稀疏因子图更容易出现㊂因此，如何在MC-LDS技术与LDPC码的联合稀疏因子图中出所有可能的短环情况并优化得到没有较小短环的稀疏因子图的问题也需要解决㊂

因此，本文基于联合稀疏因子图的度分布，提出了一种改进的渐进边长增长方法来构造特定的联合稀疏因子图㊂与单独构造MC-LDS或LDPC的稀疏因子图不同，联合稀疏因子图中有三种不同的节点可以完成软信息的交互，导致在联合稀疏因子图中有三种可能的短环情况㊂因此，在改进的渐进边长增长方法中，通过联合构造MC-LDS和LDPC共同组成的联合稀疏因子图，最终获得性能良好的没有短环的联合稀疏因子图㊂

1㊀LDPC编码MC-LDS调制系统

1.1㊀系统模型

如图1所示，考虑一个有K个用户和N个资源的上行多用户通信系统㊂此时，系统的过载率为β=K/N㊂

假设每个用户都只有一个发射天线，同时接收端也只配置一根接收天线

㊂

图1㊀上行LDPC编码MC-LDS调制系统在发送端，第k个用户的信息比特分组d k首先被一个有J个校验方程的LDPC信道编码器编码成长度为M比特的码字㊂因此，第k个用户的LDPC 校验矩阵定义为H k=[h1k,h2k, ,h M k]，其中h m k= [h m k,1,h m k,2, ,h m k,J]T㊂然后使用二进制相移键控调

㊃441㊃

制(Binary Phase Shift Keying,BPSK)将编码后的比特调制为对应的发射符号x k=[x k,1,x k,2, ,x k,M]，再利用LDS进行扩频发送㊂第k个用户的LDS扩

频序列表示为

㊀Λ

[s k,1,s k,2, ,s k,N]T㊂

式中:Λk为归一化参数使得s k2=1㊂因此，整个系统的LDS扩频矩阵表示为S=[s1,s2, ,s K]ɪNˑK㊂进一步，信号扩频后从天线中发射出去的射频传输增益为A=diag(A1,A2, ,A K)㊂因此，在接收端第m个符号在第n个资源上接收到的信号表示为

y m,n=ðK k=1r k,n x k,n+w m,n,n=1,2, ,N;m=1,2, ,M㊂

(1)式中：将r k,n=A k s k,n定义为第k个用户的第m个符号在第n个资源上的扩频增益，同时w m,n~CN(0, N0)表示加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise,AWGN)㊂

1.2㊀联合稀疏因子图表示

基于MPA方案,MC-LDS的检测和LDPC

的译

码可以用如图2所示的联合稀疏因子图表示㊂

图2㊀LDPC与MC-LDS的联合稀疏因子图表示

图2中有三种节点，即功能节点(Function Nodes,FNs)㊁联合变量节点(Joint Variable Nodes, JVNs)与校验节点(Parity-check Nodes,PNs)㊂其中,JVNs在LDPC码因子图中变量节点对应为每一个比特，而在MC-LDS因子图中变量节点对应为每一个用户㊂具体地，对于LDS而言，高阶调制后通过低密度扩频序列来映射资源块，低密度扩频序列组成的MC-LDS因子图和LDPC的因子图共同组成联合因子图，因子图中的变量节点就是JVNs㊂FNs 和PNs分别表示MC-LDS矩阵S和LDPC校验矩阵H k的行，而JVNs表示这些矩阵的列㊂这些节点之间的连接关系通过S和H k中的非零值来确定，而且将S中的非零值用1代替就可以获得MC-LDS矩阵的指示矩阵F，利用指示矩阵可以更加直观表明系统的资源占用情况㊂图2对应的指示矩阵表示为

电话卡复制

111000

100110

新沂市王庄中学010101

001011

㊂(2)

在稀疏因子图中，连接到节点的边数称为节点的度㊂不规则LDPC码的度分布由一对生成函数表示[8]:

λ(x)=ðd v,LDPC

i=2

λi x i-1,ρ(x)=ðd p i=2ρi x i-1㊂(3)式中:λi表示度为i的LDPC码变量节点连接的边数在LDPC因子图中的总边数中占的比例,d v,LDPC 表示LDPC码变量节点的度的最大值,ρi表示度为i 的LDPC码校验节点连接的边数在LDPC码因子图中的总边数之中占的比例，同时d p表示LDPC码校验节点的度的最大值㊂

类似地，对于MC-LDS矩阵S，它的度分布的定义可以参考文献[9]中的方法㊂令γ(x)和ω(x)分别表示MC-LDS矩阵对应的因子图中的功能节点和变量节点的度分布的生成函数，可以表示为

γ(x)=ðd f

i=2

γi x i-1,ω(x)=ðd v,LDS i=2ωi x i-1㊂(4)式中:γi表示度为i的MC-LDS矩阵变量节点连接的边数在MC-LD

S的因子图中的总边数中占的比例,d f 表示MC-LDS矩阵变量节点的度的最大值,ωi表示度为i的MC-LDS矩阵功能节点连接的边数在MC-LDS的因子图中的总边数之中占的比例，同时d v,LDS 表示MC-LDS矩阵功能节点的度的最大值㊂

2㊀联合稀疏因子图的构造

当给定度分布后，具体的联合稀疏因子图可以利用改进的渐进边增长方法进行构造㊂原始的渐进边增长方法被用来构造LDPC码的稀疏因子图[6]㊂此构造方法在变量节点和校验节点之间连续建立起连接，使得每次连接后的图的围长最大㊂每次边的生成都会通过多次搜索，最终构造的因子图满足围长最大的要求㊂但是，用这种方法构造的因子图只能保证变量节点的度分布和设定的一致，而校验节点的度分布是随机生成的㊂为了解决这个问题，在文献[10]的启发下，我们改进了渐进边长增长方法来保证节点(所有的节点)的度分布严格集中在所需值，并使得该方法适合于联合稀疏因子图的构建㊂具体地，改进的渐进边长增长方法利用节点的自由度而不是节点度来选择用于增加边的节点㊂该改进

㊃541㊃

第61卷刘田，张毅，余湋，等:LDPC编码MC-LDS系统联合因子图的改进PEG设计第2期

的渐进边长增长方法可用于构建MC -LDS 矩阵和LDPC 矩阵共同组成的联合稀疏因子图㊂以构造联合稀疏因子图中的MC -LDS 部分为例，图中FN fn i 的自由度d free (fn i )定义为

d fre

e (fn i )=d max (fn i )-d (fn i ),i =1,2, ,N ㊂(5)式中:d max (fn i )和d (fn i )分别是节点fn i 的最大的度(最大可以连接的边)和当前的度(已经连接的边)㊂当要往图里添加一条新的边时，先从JVN jvn i 展开

深度为l 的树状图，直到 N l jvn j ʂ⌀但是 N l +1

jvn

=⌀，或者N l jvn j 的元素停止增长，其中N l jvn j 和 N l jvn j 分别是从

jvn j 扩展深度l 得到的树状图中出现的所有的FNs 的集合以及它的补集㊂然后在集合 N l jvn j

枯草菌素

中选取自

由度最大的FN，将它和当前的jvn j 之间建立一条新的边㊂

对于具体的联合稀疏因子图，图的围长是另一个非常重要的参数，这在设计实际可用的因子图时需要着重考虑㊂在我们构造的联合稀疏因子图中，小围长被认为是因子图中girth =4的短环㊂这些较小的围

长降低了节点之间传递的软信息的独立性，并降低了系统的检测译码性能㊂Gallager [11]的分析表明，在采用基于稀疏因子图的消息传递译码算法时，具有较大围长的LDPC 编码系统的性能更加出㊂而在LDPC 编码的LDS 系统中，可以采用基于联合LDPC 与LDS 因子图的消息传递算法㊂因此，在联合检测译码结构中，为了获得大围长的联合稀疏因子图，应将设计MC -LDS 的矩阵和LDPC 矩阵联合起来构造，使得最终的联合稀疏因子图中没有小围长的短环㊂对于联合稀疏因子图，如果没有经过仔细构造，小围长在联合稀疏因子图中有三种可能的存在状况，如图3所示㊂

情况A：短环仅出现在LDPC 部分中，在LDPC 矩阵的构造中可以避免㊂

情况B：短环仅出现在MC -LDS 部分，在构建MC -LDS 矩阵时也可以避免㊂

情况C：短环包含LDPC 部分和MC -LDS 部分，需要联合考虑LDPC 矩阵和MC -LDS 矩阵的构造才能消除

㊂

图3㊀联合稀疏因子图中girth =4的短环

对于上述三种情况，在单独考虑LDPC 或MC -

LDS 因子图的构造时，非规则的LDPC 码度分布优

化会避免情况B 短环的出现,MC -LDS 的因子图在设计时同样也会考虑避免情况A 短环的出现㊂因此，构建联合稀疏因子图的思路就是在此基础上避免情况C 短环的出现㊂首先利用改进的渐进边长增长方法获得满足最优度分布和围长要求的MC -LDS 因子图㊂在这种构造方法下，联合稀疏因子图

中消除了情况B 的小围长的短环㊂然后，根据图3,

利用构造的MC -LDS 因子图来创建联合稀疏因子图的MC -LDS 部分，而LDPC 部分的构造是基于当前未完成的联合稀疏因子图㊂MC -LDS 部分已经连接好的这些FN 作为特殊PN 参与LDPC 部分的构建，也就是说，它们仅作为中间节点参与JVN 的扩展，从而保证了情况C 的小周长不会出现在联合稀疏因子图中㊂同样，这里构造LDPC 的方法是修改后的渐进边长增长方法，它避免了联合稀疏因子图中情况B 的小围长的出现㊂在构建了联合稀疏因子图之后，根据指示矩阵F 构建MC -LDS 矩阵S ㊂

联合稀疏因子图的构造算法的伪代码如下:

1输入:

J ,M ,N ,K ,λ2, ,λd v ,LDPC

,ρ2, ,ρd p

,γ2, ,γd

/∗初始化

体外诊断2基于λ2, ,λd

v ,LDPC

和M 计算JVNs 的度:d (jvn 1)ɤ

华宇乐悠游ɤd (jvn M );

3基于γ2, ,γd f

和N 随机生成FN fn i 的d max (fn i );4基于ρ2, ,ρd p

和J 随机生成PN pn i 的d max (pn i );

5设置d free (fn i )=d max (fn i )对于所有的FN;

6for j =1:N do

7㊀

for k =0:d (jvn j )-1do

8㊀㊀

if k ==0then

9㊀㊀㊀

在jvn j 和fn i 之间建立边，其中fn i 是在当前

MC -LDS 因子图中具有最大自由度的FN;

10㊀㊀㊀d free (fn i )=d free (fn i )-1;11㊀㊀else

12㊀㊀在JVN jvn j 处展开深度为l 的树状图，直到 N l jvn j

⌀但是 N l +1jvn j

=⌀，或者N

jvn

的元素停止增长;

13㊀㊀㊀随机从 N l jvn j

ʂ⌀中选取一个具有最大自由度

的FN fn i ，在jvn j 和fn i 之间建立边;

14㊀㊀㊀d free (fn i )=d free (fn i )-115㊀㊀end if

16end for

17通过构造的MC -LDS 因子图创建联合因子图的MC -LDS 部分;

18基于未完成的联合稀疏因子图和类似的渐进边长增

㊃

641㊃leonline 电讯技术㊀㊀㊀㊀2021年

长方法(步骤6~14)构造剩下的LDPC 部分，其中FN 替换为PN㊂

19输出:F 和H k ㊂

根据上述算法，在已知其度分布的情况下，可构

造对应的LDPC 校验矩阵与LDS 矩阵㊂具体地，需要先以MC -LDS 的功能节点为根，基于改进的PEG 算法构造联合稀疏因子图的MC -LDS 部分，然后以联合变量节点为根，展开包含MC -LDS 功能节点的树，进而构造联合稀疏因子图的LDPC 部分㊂在联合构造过程中涉及两个步骤：第一，以功能节点或联合变量节点展开树；第二，基于树建立新的边㊂对于所有的用户采用相同的LDPC 码㊂此外，由于在LDS 系统中，需要保证每个用户所使用资源的公平性，公式(4)中的ωi 对于不同的用户是固定的，因此在构造算法中未将其作为可变的输入参数㊂树的展开如图4所示，对于给定的某个节点s

(联合稀疏因子图中的联合变量节点或功能节点)，定义其深度为l 以内的邻居N l s j ，作为包含从符号

节点s j 出发展开的深度为l 的树中到达的所有校验节点的集合㊂它的补集 N l s j 定义为V c \N l s j ，其中V c 为所有校验节点的集合㊂在完成树的展开后，从 N l

s j

中选取一个具有最大自由度的节点与s 连接

㊂

图4㊀基于因子图的树的展开示意图

根据以上算法，得到的联合稀疏因子图中可以避免图3中第三种短环的出现，进而提升系统性能㊂

3㊀性能仿真分析

3.1㊀仿真条件

在蒙特卡洛仿真中，信道编码采用不规则LD-

PC 码，译码方式采用联合迭代译码㊂LDPC 码长设置为12096与1008，码率为1/2㊂

对于MC -LDS 系统，仿真中使用的LDS 矩阵的

湖南百科全说大小设置为8ˑ12㊂对应的LDS 指示矩阵为F =0000110100100011100000010100000010000001000001001000000100001110000000100000011010010

0æèççççç

çççççöø÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷㊂(7)

仿真中所使用的LDS 矩阵为S =1200001e

π4

π2

00e

j 3π4

0001e

π4

π2

000000e j 3π4

01000000e

j π2

000000100000e

j π2

01000000e

j π2

000

01e

j π4

j π2

0000000e

j 3π4

0000001e

j π4

j π2

00e j 3π40

j π2

0æèçççççççççççççççöø÷

÷÷÷÷

÷÷÷÷÷÷÷÷㊂(8)

此外，其他的仿真参数如表1所示㊂

表1㊀仿真参数参数设置调制方式BPSK 资源数N 8用户数K 12系统过载率β/%

150联合检测译码接收机的迭代次数T

3.2㊀仿真结果与分析

当构建一个具体的联合稀疏因子图时，短环对

BER 性能的影响如图5所示㊂其中，因子独立优化时,LDS 与LDPC 各自的girth 均大于4，而联合LDS -LDPC 则存在girth 为4的情况(见图3)；而在因子图联合优化时，每个部分的girth 均大于4，消除了如图3中所示的girth 为4的短环㊂此外，所有用户采用相同的LDPC 码校验矩阵㊂从图5中可以看出，没有图3中girth =4的短环时，对于LDPC 码长为12096与1008时，系统在BER 为10-5时能分

别带来大约0.5dB 与0.6dB 的性能增益，表明消

除联合稀疏因子图中的短环可以进一步提高性能㊂

㊃

741㊃第61卷

刘田，张毅，余湋，等:LDPC 编码MC -LDS 系统联合因子图的改进PEG 设计第2期

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