郭卓明 李国平 袁万城
上海城建设设计院 同 济 大 学
摘要：由于悬吊桥梁采用索塔支撑，其主塔往往须承受强大的轴向压力，因此其稳定是一个比较突出的问题。尤其独塔单索面斜拉桥在空间受力和稳定性方面都相对比较薄弱，对其进行稳定性分析更显必要。本文在对其主塔受力的适当简化之后，分别对其弹性及弹塑性稳定进行了简化分析，在传统的弹塑性稳定内力分析的基础上提出了一种独塔单索面斜拉桥主塔弹塑性稳定分析的简化方法。并以两座独塔单索面斜拉桥为背景做了算例，分析结果表明本文采用的简化分析方法是可行的。 关键词：独塔单索面 斜拉桥 主塔稳定 简化分析 一、引言
国民经济的飞速发展和国家对基础设施投入的进一步加强为我国大跨桥梁的发展提供了一个良好的条件，近十几年来，斜拉桥在我国迅速发展。由于单索面斜拉桥在美学上的优势，目前采用这种形式的斜拉桥也越来越多。由于悬吊桥梁的主塔均需承受巨大的轴向压力，而且随着桥梁跨度的增大，主塔也越来越高，结构越来越柔，其稳定问题成为一个非常突出的问题。尤其是其侧向稳定在设计时更需特别注意。
结构的稳定是一个较为经典的问题。从1744年欧拉的弹性压杆屈曲理论，到1889年恩格赛的弹塑性稳定理论，到Prandtl, L.和Michell, J. H. 的侧倾稳定理论，再到李国豪教授、项海帆教授等对桁梁桥、拱桥稳定的研究[1]以及近来国内外许多学者对各种具体结构稳定的研究，稳定问题在理论上已经比较成熟。在斜拉桥的稳定方面，1976年Man-chang Tang 提出了弹性地基梁的屈曲临界荷载估算法，葛耀君[5]用能量法分析了斜拉桥的面内稳定，此外樊勇坚、李国豪以及钱莲萍等都提出过各种实用计算方法，但都是仅限于弹性稳定的简化分析，且基本集中于主梁的稳定。对于弹塑性稳定，最近谭也平、景庆新[2]等都用有限元的方法进行了分析。稳定问题在计算方法上经历了经典的平衡微分方程方法、能量法等简化方法和有限元的数值计算方法这三个阶段，目前众多的研究尤其是对弹塑性稳定的研究大都集中在有限元分析上。然而在精确的有限元分析的同时，采用直观明了、概念清晰的力学简化分析，无论在对有限元分析结果的检验还是在初步设计时进行简单的估算都十分必要。本文在对独塔单索面斜拉桥主塔的受力特性进行适当简化之后，对独塔单索面斜拉桥主塔的弹性及弹塑性稳定问题分别进行了简化分析。
二、弹性稳定简化分析
考虑最一般的情况，主塔失稳方向和拉索平面成夹角β，如图（1）所示。失稳线形假定为()()v z V f z H ⋅=，分解到斜拉索平面内和平面外分别为：
平面内：()()()x z v z V f z H =⋅=⋅cos cos ββ 平面外：()()()y z v z V f z H =⋅=⋅sin sin ββ
主塔产生变形以后，外力功主要有拉索做功、主塔本身轴压做功和风荷载做功，其中拉索做功需考虑其在平面内的弹性支撑和平面外的非保向力作用，则由能量法可方便的导出主塔势能的总表达式：
()()()()πλ=+=+
=--∑⎰∑⎰⎰12121
121122
10222
020
EI v dz k i y k i x q z ydz N z v dz i n H夜圣
i n
H
H
''' （1）
式中，H 为主塔高度，EI 为主塔侧向刚度，q (z )为沿塔高度分布的静风力，N 0(z )为塔中实际轴力，K 1i 、K 2i 分别为拉索在面外和面内的等待弹性支撑的等代刚度，由图（1）分别可导出以下两式：
()k P z k E A z i i
i
i i i i i
i
122
=⋅=
sin cos sin θθθ z
y
x
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V H
x H
y H
β
式中，n 为拉索总数，P i 为第i 根拉索拉力，E i A 为斜拉索抗拉刚度，θ为拉索与主梁夹角。
由最小势能原理，将式（1）对β求偏导便可得：
k k V f z i i n
i i n
H 11
21
20==∑∑
-⎛⎝ ⎫
⎭⎪⋅=()si n cos ββ （2）
一般情况下：
k
k i
i n
i i n
11
21
0==∑∑-≠，因此必有：sin β cos β = 0。表明β的取值只能在坐标
轴上，即主塔失稳必然在拉索平面内或与其垂直的平面内。对于侧向失稳，cos β = 0。由此，对硝基苯酚
简化（1）式后，对∆H 求偏导后即可得主塔侧向稳定安全系数为：
()()()()()λθ=
+-⎰∑⎰⎰=EI f dz P f z z V q z fdz N z f dz
H
i i i i n
H H
H
''sin '2
21002
1 （3）
在拉索平面内同样可得出相应的稳定安全系数，式（3）中除风荷载一项涉及塔顶位移
以外，其余各项均为已知项。失稳意味着位移的突然发散，因此V H 必然较大，且由前面计算可知桥
塔侧向风力相比主塔轴力和拉索拉力非常小，故风力影响一项实际可略去不计。文献[2]的研究亦证明了这一点。
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对于主塔变形曲线，理论上可以按内力－变形方程进行逐步逼近，在实际计算中可按如下假定：
()()v z V z H V f z H H =-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝
⎫
⎭⎪=⋅12cos π
（4）
式中：H 为主塔高，V H 为塔顶位移。
三、弹塑性稳定简化分析
结构中压杆的稳定包括屈曲和压溃两种，分析时又有弹性和弹塑性两种。以上分析实际是一种弹性屈曲分析。更精确的分析便需进行弹塑性分析，此时应考虑结构的施工误差等
图（1）：主塔整体变形示意图
引起的初始变形、初始内力及温度，侧向风荷载等作用。
由于斜拉桥在拉索平面内失稳的可能性很小，因此主要分析其侧向稳定。在对独塔单索面斜拉桥主塔侧向变形后的受力状况进行适当简化之后（如图2－a 所示，将拉索作用于主塔上的轴力累加为一个合力，再将主塔本身重力分解为沿拉索合力方向分量和与其垂直分量，忽略垂直分量。最后合并成如图2－a 所示的受力状态，其中q 1为侧向静风压力，∑P i 为作用于主塔上的拉索合力，z o 为作用位置，W 为主塔自重），此时问题就简化为一个有初位移压杆的弹塑性稳定临界内力（或安全系数）的求解。
图（2
如图（2－b ）所示，假定变形曲线为正弦曲线[4]，根据内力变形微分方程及边界条件可解得杆中弯矩－轴向力关系如下：
M P P
P P f z z E E o o =
⋅-⋅⎛⎝ ⎫⎭
⎪sin π
（5）
式中：P EI l E =π2
2
/，f o 为压杆初变形最大值，z o 为压杆长度。再考虑风力和自重的作用，塔中弯矩可表达为：
()()()()M P P P P f z z q H z W y z y z E E o o =
⋅-⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+⋅-sin π12
12
1
（6）
式中z 1为主塔重心位置，式中f o 确定时需考虑主塔施工误差，日照温差和风荷载等不
利因素的叠加，根据式（7）计算。
简化分析非常重要的一点就是要确定塑性铰出现的位置，一般独塔单索面斜拉桥主塔的截面都变化不大或直接为等截面，因此可认为弯矩最大点即是塑性铰位置。理论上只要对式（6）进行简单的求导即可求得弯矩最大位置，然而由于方程直接求导后较难求解，故可采用下面简化方法确定。如主塔变形曲线如式（4），则主塔与合力作用线之间距离沿主塔高度分布为：
()()∆∆∆y z z H z H z z H H o o
=-⎛
⎝ ⎫⎭⎪-
-1212cos cos ππ （7）
由∆y '=0即可简单的求得主塔与合力作用线距离的最大值及相应位置z y ∆max ，这便是拉索在塔上引起弯矩的最大点。由于风载和自重的作用，弯矩最大点实际上要往塔根偏移一
些，所以还需对其作适当修正，根据两者对主塔弯矩影响的不同，修正系数γ按下式计算：
γ=
+M M M 1
12
（8）
式中M 1，M 2分别为拉索引起最大弯矩和风载重力引起最大弯矩：
M P P
P P f z z E E o o 1=
⋅-⋅⎛⎝ ⎫⎭
⎪sin π
()M q H W y z 21211
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=
+⋅ P 为屈服时轴力，应按弹塑性安全系数乘实际轴力计算，这便出现一个迭代过程，使估算变得复杂。
实际计算时可按一般安全系数2.5乘塔中轴力计算，引起误差极小，估算时不必进行迭代。则弹塑性破坏点位置可确定如下：
z z m y max max
=⋅γ∆ （9）
在截面形式和配筋情况确定之后，其在压弯受力下的弯矩－轴力破坏面便可确定。而且由图（3）所示，其变化曲线可用一抛物线加以拟合。以济南环城高速公路北段斜拉桥为例，在主塔配筋率为0.02下，拟合后曲线为：
()
M N =-⨯⨯--506000584107467052
. （10）
式中：N ＝P ＋W 。然后将式（9）结果代入式（6）得到的方程与式（10）联立后求得的解即是该断面进入塑性状态的内力值，如假设拉索拉力逐级增加：P v P i
=⋅∑，代入后
便可求得主塔的弹塑性稳定安全系数v 。
四、算例
济南绕城高速公路北段斜拉桥、钱江三桥以及黄山太平湖大桥等桥主跨均为预应力混凝土独塔单索面斜拉桥，其中后两桥均已建成。下面以弹塑性分析为主分别对这几座桥梁的主塔稳定问题用上述简化方法进行了分析，并与有限元分析结果作了相关比较（见表－1），可以发现结果吻合较好。
1、济南绕城高速公路北段斜拉桥
济南绕城高速公路北段主桥采取墩、梁、塔固结形式。主跨2×67.5m ，桥面宽26m 。主梁为单箱四室预应力混凝土箱梁，梁高1.6m 。桥塔在纵桥向为到Y 型，塔高42m ，主塔断面接近实心矩形断面。桥梁设计荷载为汽－超20和挂－120。墩、塔、梁材料均为50号混凝土。
对弹性稳定问题，经过简单的微机积分计算，得恒载下和活载恒载最不利组合下主塔的侧向稳定安全系数分别为7.65和7.04。计算时主塔刚度由《桥规》按0.85折减。
弹塑性分析时，由相应规范，施工误差取主塔偏位 ∆max < 10cm ，日照温差5︒C 。风荷载按规范计算，且各因素按最不利同向组合。截面弯矩－轴力破坏面拟合方程如10式。将各系数代入方程，解得主塔弹塑性稳定安全系数为2.6。
2、钱江三桥
钱江三桥是一座斜拉连续协作体系桥梁，主跨为两座跨径2×168m 。桥面宽29.5m ，主梁采用单箱五室预应力混凝土箱梁，梁高3.205m 。主塔高98m ，采用空心矩形断面。设计活载和混凝土标号同上，施工误差及日照温差选取亦同上。侧向风荷载由“钱江三桥抗风分析报告”为：霍普金斯
q kN m 11092141456119875=⨯⨯⨯=...../
截面弯矩－轴力破坏面拟合曲线方程为：
()
M N =-⨯⨯--2729002951027500062
.
然后将各已知系数代入方程，求解后的主塔弹塑性稳定安全系数为2.4。与有限元分析结果相比，两者相差在10％左右，可满足设计要求。
3、黄山太平湖大桥
该独塔单索面桥主跨跨径2×190m 。桥面宽18.2m ，主梁采用单箱三室预应力混凝土箱梁，梁高3.5m 。主塔高86.6m ，采用空心矩形半圆组合断面。设计活载和混凝土标号同上，施工误差及日照温差选取亦同上，风荷载亦按规范计算。拟合截面的弯矩－轴力破坏面曲线，再解上述联立方程后即可得其弹塑性稳定安全系数为2.2，与有限元分析结果相差亦小于10％（见表－1）。
注：*主塔断面面积为弯矩最大处面积。
五、结论
本文在对单索面斜拉桥主塔受力特性作适当简化的基础上，分别对主塔的弹性及弹塑性稳定问题作了简化分析。通过上述分析，再比较几座桥梁主塔的稳定安全系数有限元分析结果后，发现结果吻合较好，证明本文提出的弹塑性稳定简化分析方法概念简单清楚，切实可行，并可得出以下结论：
1、单索面斜拉桥的弹性失稳一般可分为面内失稳和与拉索平面垂直方向的失稳，只有当拉索在面内的弹性约束和面外的非保向力引起的约束作用相等时才有可能出现其它方向的失稳；
2、在弹性稳定分析时，横向风力的影响较小，估算时可略去不计；
3、无论在弹性还是在弹塑性稳定中，独塔单索面斜拉桥拉索的非保向力的作用非常显著，在弹塑性稳定中，这种作用致使主塔屈服时塑性铰位置不出现在塔根而向上偏移，偏移量与几种荷载的组合比例有关。
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