第Z 6卷 第3期航 空 学 报
Vol.Z 6No .3 Z 005年 5月ACTA AERONAUT I CA ET ASTRONAUT I CA S I N I CA
M a y Z 005
收稿日期!Z 004-05-09"修订日期!Z 004-10-Z 8基金项目 航天创新基金 Z 0~TZ060Z
资助项目 文章编号!
1000-6893 Z 005 03-0Z 81-05基于简化B o ltz m ann 方程的超声速流稀薄效应分析
王 强1 Z 程晓丽1 庄逢甘Z
1.航天空气动力技术研究院 北京 100074 Z .北京航空航天大学流体力学研究所 北京 100083
Raref acti on E ffect Anal y s is of s u p ersonic fl ow s Based on Reduced Boltz m ann E <uati ons
WANG G i an g 1
Z
C~ENG X i ao-li 1 Z ~UANG Fen g -g an Z
1.Chi na A cade m y of A er os p ace A er od y na m ics Bei i n g 100074 Chi na
Z .Instit ute of F l ui d M echanics Bei i n g Uni versit y of A er onautics and A str onautics Bei i n g 100083 Chi na 摘 要 从近连续流到近自由分子流 计算分析超声速流场的稀薄效应 模型Boltz m ann 方程先后经简化分布函数和离散速度坐标变换后 采用一个隐式通量修正二阶迎风TVD 格式差分求解 壁面取漫反射气体分子模型 在Knudsen 数为0.001 0.01 0.1 1.0 10等5种情形下 数值模拟二维圆柱氩气体绕流 观察到了不同的波系及尾迹结构 总阻力系数计算值同实验数据基本吻合 碰撞项Shakov 动力学模型反映的流场细节略好于修正BGK 模型 稀薄效应趋于弱化激波等超声速流动结构 物体影响域增大 关键词 流体力学 稀薄气体 Boltz m ann 方程 TVD 格式 漫反射模型中图分类号 V Z 11.Z 5 文献标识码 A Abstract Raref acti on eff ect on su p ersonic fl o W fi el ds i n t he transiti on f r o m near conti nuu m t o near f ree-mol e-cule fl o Wis anal y zed nu m ericall y .The model Boltz m ann e C uati ons Which are deri ved f r o m t he transf or m ati ons of reduced distri buti on f uncti on and discrete vel ocit y or di nate t o g et her are sol ved t hr ou g h usi n g an i m p licit fl ux-corrected second-or der u p W i nd TVD T otal V ari ati on D i m i nishi n g sche m e .G as mol ecul e diff use reflec-ti on mo
del is i m p le m ented on t he Wall .For fi ve cases na m el y t hat Knudsen nu mbers are 0.001 0.01 0.1 1.0and 10res p ecti vel y t he A r g on g as fl o W s ar ound a t Wo-di m ensi onal c y li nder are si mulated nu m ericall y and diff erent Wave s y ste m s and Wake str uct ures are i nvesti g ated .The calcul ated t otal dra g coeffici ents can a g ree C ualitati vel y Well W
it h t he ex p eri m ent data .F l o W details obtai ned b y e m p l o y i n g Shakov ki netic model f or colli-si on ter m are a littl e better t han b y modifi ed BGK model .Raref acti on eff ect tends t o m ake su p ersonic fl o W s move s moot hl y and t o enlar g e t he i nfl uence do m ai n of c y li nder .
K e y words fl ui d m echanics rarefi ed g as Boltz m ann e C uati on TVD sche m e diff use refl ecti on model
在航空航天和微机械领域 低密度飞行环境
和微尺度几何结构都可能引发强烈的气体流动稀薄效应 对飞行部件或电子元器件的性能产生巨
大影响 1
特别地 空间飞行器超声速再入回收
时 要穿过不同的稀薄区域 气动力和气动热会随着流场结构的变化产生波动 增加了飞行控制及烧蚀防护的复杂性
按照Knudsen 数从小到大的顺序 流动被分成连续流 滑移流 过渡流及自由分子流等4个区域 并统一以Boltz m ann 方程来描述 通过引入碰撞项简化动力学模型和分子速度简化分布函数 可得到简化模型Boltz m ann 方程 进而由离散速度坐标法消除其对分子速度空间的连续依赖性 变换为物理空间上的一组带源项双曲守恒
方程 Z !5
本文基于G auss-~er m it e 积分公式确定离散速度点分布和宏观量积分 采用一个隐式通量修正二阶迎风TVD 格式差分求解上述变换后的简化模型Boltz m ann 方程 从近连续流到近自由分子流 研究大范围Knudsen 数下二维圆柱氩气体超声速绕流场的稀薄效应 重点观察了流动结构的变化 此外 比较了修正BGK 模型和Shakov 模型两种简化动力学模型的计算结果 总阻力系数计算值同相关实验数据基本吻合
1 控制方程
从一般非线性Boltz m ann 方程出发 引入碰撞项简化动力学模型和分子速度简化分布函数
可导出简化模型Boltz m ann 方程 Z !4
据此由离
湖北警官学院学报散速度坐标法 采用数值积分公式 沿连续的气
航空学报第Z6卷
体分子速度空间U
J U}的两轴分别确定Z N
J
和Z N
}
个离散速度点在二维曲线坐标系下变
换得到Z N
J Z N}
个无量纲离散双曲守恒方程组
8@G8 8T +
8E G8
8E
+
8F G8
8T
=S G81
下标G N
J 11N J ;8N
}
11N}表示在离散点U J G U}8上取值G 此外
@=J-1g h T E=J-1u g uh T
F=J-1U g Uh T
S=J-1U g N-g U h N-h I T
其中:g h是简化分布函数G acobi行列式及反变速度u U为
J=E J T}-E}T J
u=E J U J+E}U}U=T J U J+T}U}
碰撞频率U1T/~;1是分子数密度;T是温度；是Boltz m ann常数G对M ax Well分子模型动力黏性系数~~T/T ;T是来流温度G来流黏性系数
~=5/16n1Z T T1/Z X
式中:n是气体分子质量;1是来流分子数密度；是气体常数;X是来流分子平均自由程G在碰
撞源项S中若记c U
J u J U}u}I T那么
对修正BGK模型6I有
g N=g M=
1
T T
ex p-
c Z
T
h N=h M=T
Z
g M 对Shakov模型7I有
g N=g M1+41-r
5PT
c-<
c Z
T
-I Z
h N=h M1+41-r
5PT c-<
c Z
T
-I1
唐成良
式中:u
J u}是宏观速度;P是压力;<；是热通
量;Pr是randtl数G值得一提的是所选用的BGK模型在形式上与文献Z I基本一致对碰撞频率进行了类似于Shakov模型的非常数修正但未改变其标准M ax Well分布特征G
在全部离散速度点U
J G U}8
上分别由方程1解出简化分布函数g G8h G8后采用同一数值积分公式可在分子速度空间上积分得到宏观量1u T P<；以及应力张量!G
Z数值方法
取定离散速度点U
J G U}8不失一般性以
下省略下标G8 G在计算域内等距点E
i T j 上
采用~art en和Yee发展的通量修正二阶迎风
TVD格式8I隐式差分求解控制方程1即
D"@i j-"T u+
E
"@i-1j-"T U+T"@i j-1=RHS1i j
D"@1+1i j+"T u-
E
"@1+1i+1j+"T U-T"@1+1i j+1=D"@i j 其中：变元增量"@1+1@1+1@1且
D=1+"T U+u/"E+U/"T
u
E
=u u/Z"E U T=U U/Z"T
变量RHS1
i j
是显式格式右端项为
RHS1i j=-"T E i+1/Z j-E i-1/Z j1/"E+
F i j+1/Z-F i j-1/Z1/"T-S1i j I
不妨省略下标j以离散通量E1
i1/Z
为例有
E i1/Z=E i+E i1+"E i1/Z-J-1i1/Z/Z
向量"E写成如下通量修正形式
"E i1/Z=u i1/Z g E i+g E i1/Z-
u i1/Z+6E i1/Z#E i1/Z
其中
#E i1/Z=J@i1-J@i I
g E i=m i n mod#E i-1/Z#E i+1/Z
二元函数m i n mod表示因变量异号时取0否则
取绝对值最小者G数值黏性系数函数按照格式
熵条件构造形如
S=
S Z+E Z/Z E S E
S S
<E
参数E在0!0.5之间取值G对于向量#E等于
0的元素函数6E取0值否则
6E i1/Z=u i1/Z g E i1-g E i/Z#E i1/Z
半点值计算只涉及J1和反变速度u中的网格导
数取两点平均即可G离散通量F1
j1/Z
类似G 3边界条件
在壁面以漫反射模型描述气体分子与壁面的相互作用假设入射到壁面的气体分子都在瞬
间与壁面达到热平衡再以M ax Well分布重新散
射回气体流场中且反射形式及反射后的运动状
态只与壁面温度有关G在来流外边界假设气体
分子未受扰动速度分布函数取平衡M ax Well分
布条件G在下游外边界取同内点控制方程相容
的外行特征方程随时间迭代过程一并数值求
解G在对称轴上取镜面反射条件G
4计算结果及分析
考虑二维无限长圆柱单原子氩气体定常超声速绕流G取J轴为流向坐标}轴为横向坐标
建立右手C artesian正交坐标系原点位于圆柱中
心G来流方向自左至右沿流向对称轴取}0上
Z8Z
第3期王 强等：基于简化Boltz m ann 方程的超声速流稀薄效应分析
半区域为计算流场9并代数生成O-~网格9在壁面附近加密G 气体的分子量为409比热比7 5/39Pr Z /3G 采用N 10阶G auss-~er m ite 数值积分公式9离散速度点总数为Z0 Z09沿每个速度方向的取值范围均为 5.3875!+5.3875G 定义时间迭代局部时间步长("T )i 9j =m i n C "
u G 8+ U G 8 m i n ("E 9"T )91{}
U i 9j 其中:C "
为常数9相当于数值离散意义上的Cou-
rant 数9最大取值0.95G 4.1 实验对比
参照文献 9 的实验条件9取圆柱的直径
D 7.6Z 10 6m 9并设作几何特征长度9来流M ach 数M O 1.969来流温度T Z 00K 9等热壁面温度T W 319K 9则来流总温T 09 456K 9即壁温总温比T W /T 09 0.7G 计算网格数为101 1Z 19碰撞项取Shakov 模型G 从近连续流到过渡流9选定8个Knudsen 数K1 0.0Z 90.0590.190.Z 90.591.09Z.096.0加以计算G 图1是总阻力系数计算值同实验数据的对比G 计算点近似反映了实验数据随Knudsen 数单调变化的趋势9在K1 0.5的近连续流到弱过渡流范围内两者十分吻合G 在过渡流后半段9计算值逐渐低于实验值9此时流动稀薄效应增强9壁面反射气体分子的影响域增大9所需网格范围也随之增大9因而计算和实验的差异可能是由壁面漫反射模型不完备和壁面网格偏疏引起的9此外9差分格式的数值耗散与气体分子速度密切相关9人工黏性的作用也不确定9这些都有待于深入地分析研究
G
图1 不同Knudsen 数计算与实验总阻力系数对比F i g .1 Co m p ari son of calcul at ed and m easured t ot al dra g
coeffi ci ents at diff erent Knudsen nu mbers
4.2 修正BGK 模型和s hakov 模型计算对比
将圆柱的半径设作几何特征长度G 来流
M ach 数M O 1.89来流温度T Z 00K 9等热
壁面温度T W 416K 9则来流总温T 09 416K 9即壁温总温比T W /T 09 19计算网格数为81 91G 不妨以滑移/过渡流Knudsen 数K1 0.1情形为例9图Z 是分别采用修正BGK 模型和Shak-ov 模型计算得到的等压线对比G 流场基本相似9无明显差别9表明两种简化动力学模型在描述微观气体分子碰撞上的细微差异对宏观流动的影响不大G 在尾迹区9Shakov 模型的等值线光滑性较好9即其在反映流场细节结构上略强于修正BGK 模型G 当无需过多关注流场细节时9为提高计算效率9碰撞项可选用修正BGK 模型
G
图Z 不同简化动力学模型的等压线对比
F i g .Z Co m p ari son of p ressure cont ours rel at ed t o diff erent re-duced ki neti c models
4.3 稀薄效应分析
在4.1节中9图1定量显示了随Knudsen 数由小变大9稀薄效应导致圆柱总阻力系数逐渐增大的变化趋势G 现从近连续流到近自由分子流9分别选取5个Knudsen 数K1 0.00190.0190.191.0910加以计算9定性分析大范围Knudsen 数下稀薄效应所引起的超声速绕流场内流动结构的变化G 计算条件同4.Z 节9M O 1.89并依据其研究结论9碰撞项取相对简单的修正BGK 模型G
许多已有的基于Navi er-S t okes 方程的连续流数值模拟结果表明9超声速圆柱绕流场具有复杂的运动学和动力学结构9在迎风面存在强弓形主激波\高温高压驻点区9在背风面存在稀疏膨胀波\再压缩反射波\低压高速角区\底部高温回
流区等G 图3是不同Knudsen 数流场的等密度线和等马赫数线G K1 0.001情形近似为连续流9强弓形主激波的跨度仅一\两个网格9来流气体环绕圆柱历经强压缩到膨胀过程9密度在前缘驻点区最高9在底部回流区最小5下游膨胀波与再压缩反射波之间是高速角区9最大马赫数明
3
8Z
航空学报第Z6卷
图3不同Knudsen数流场等值线对比
F i g.3Co m p ari sons of densit y and M ach nu mber cont ours rel at ed t o
diff erent Knudsen nu mbers
显大于来流值O K10.01情形为滑移流9近似满足连续介质假设9因而流态同连续流相近9轻微的稀薄效应使弓形主激波的脱体距离略大9强度略弱9表现为激波厚度略宽；背风面的波系和尾迹结构仍清晰可辨9但壁面滑移现象使它们在空间分布和数值大小上已呈现一些差别O K10.1情形位于滑移流和过渡流的分界点9数值模拟给出了其滑移流特点I有明显的激波存在9又显示了其过渡流特点I相同来流马赫数下9与连续流及滑移流相比9较大的稀薄效应使来流气体分子感受壁面反射气体分子的影响的距离更远9突出体现在弓形主激波的脱体距离变大9激波强度变弱9激波变厚O特别地9圆柱后缘的膨胀波和压缩波趋于消失9穿过弓形主激波的来流气体自圆柱肩部仅经历了很弱的膨胀加速\压缩反射过程9圆柱底部虽然仍是低密度区9但未形成回流涡O值得注意的是9嵌于膨胀波和压缩波之间的角区流动继续保持高马赫数9但已同来流值差别不大O K1 1.0情形为过渡流9气体分子之间的碰撞与气体分子和壁面之间的碰撞同等重要9流场稀薄效应增强9尽管整体上还留有类似于连续流结构特征的痕迹9但弓形主激波扰动区已被抹平9呈现较宽的渐缓过渡态9圆柱经由壁面反射气体分子而产生的影响范围增大了数倍9尾
迹特征也被淡化9没有膨胀波\压缩波\回流涡等现象O 最后9K110情形近似为自由分子流9稀薄效应完全占主导9圆柱影响域远远大于连续流情形9流场结构也十分简单9超声速来流气体较为平缓地穿过整个流场9几乎无明显的压缩膨胀过程O 图4给出了K10.00190.1两种情形的尾迹流线O因稀薄效应推迟了圆柱壁面后缘分离点的出现9所以随着Knudsen数的增大9近连续流的底部回流分离涡逐渐变小9并由扁长趋于饱满9后轴上的附着点同时前移9当Knudsen数增大到滑移流和过渡流的分界点附近时9涡核消失9尾迹流动完全发展为附着态O
图4不同Knudsen数尾迹流线对比
F i g.4Co m p ari son of strea m li nes i n Wake rel at ed t o diff erent
Knudsen nu mbers
为便于直观比较稀薄效应的影响9表1归纳列出了从近连续流到近自由分子流5个Knudsen 数算例所反映出的主要流动结构特征9表中有关强弱判断以及弓形主激波脱体距离的定量数据值均是近似的O
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第3期王强等：基于简化Boltz m ann方程的超声速流稀薄效应分析
表1从近连续流到近自由分子流不同Knudsen数下的流场结构特征
Table1Characteristics of fl ow struct ures i n t he trans ition fro m near conti nuu m t o a pp roXi m ate free-m olecule fl ow at differ-ent Knudsen nu mbers
K1流场
主激波
脱体距离
主激波强度天下故事会2012
下游膨胀波
压缩波
底部回流涡下游高速角区
0.001近连续流 3.35强薄强大涡高马赫数0.01滑移流 3.55较强薄较强中涡较高马赫数
0.1滑移/过渡流 3.8中厚弱<；无>中马赫数
1.0过渡流 5.5极弱极厚<；无><；无>较平缓过渡10近自由分子流<；无><；无><；无><；无>平缓过渡
5结论
将~art en和Yee发展的通量修正二阶迎风TVD格式引入稀薄气体数值研究实现了简化分布函数和离散速度坐标变换后的模型Boltz-m ann方程的隐式差分求解围绕二维圆柱氩气体超声速绕流场进行了总阻力系数计算值同实验数据对比以及不同碰撞项简化动力学模型计算对比从近连续流到近自由分子流选取5个Knudsen数重点计算分析了大范围Knudsen数下稀薄效应对流动结构的影响研究表明:
<1>总阻力系数的计算值同实验数据基本吻合修正BGK模型和Shakov模型的计算结果相似后者的等值线相对光滑反映的流场细节略好在一般性稀薄流计算中碰撞项采用较为简单的修正BGK模型是可以接受的
<Z>超声速来流条件下随Knudsen数由小变大稀薄效应使圆柱总阻力系数单调上升圆柱经由壁面反射气体分子表现出的影响域增大连续流结构趋于淡化如：主激波脱体距离扩散变大厚度变宽强度变弱；底部涡变小而消失连续流结构以过渡流为界开始不明显来流气体逐渐相对平缓地穿过整个流场
敏感教师
参考文献
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作者简介!
王强"1967#男安徽桐城人航天空
气动力技术研究院高级工程师博士后
1990年于北京大学数学系获理学学士学位
1999年于中国科学院获理学博士学位现
主要从事复杂流动稳定性及数值模拟研究
通讯地址：北京7Z01信箱16分箱<；邮编
100074>;E-m ail:C Wan m；:010********
"责任编辑!刘振国#
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