《自然科学史研究≥第2l卷第l期(2002年):49j5 StudiestheHistoryNaturalSciencesV o[.21No.1(2002)
方中通《数度衍》中所见的约瑟夫斯问题
郭世荣
内蒙古师范大学科学史系.呼和措特010022
摘要方中通《数度衍≥卷?3中列有一个属于约瑟夫斯问题的题目，这
是目前所知中国古算书中惟一的一个有关的题目.文章首先简迷了约瑟夫斯问
唐纳德
题的历史.接着介绍了方中通在《敦度衍中记述的命题，分析了其中所包含的内容和存在的问题，最后论述了这个题目的意jL.并对它的来源提出了看法.
关键词约瑟夫斯问题《数度衍》方中通
中图分类号01l2
文献标识码A文章编号1000—0224(2002)01049～07
约瑟夫斯问题(Josephus'Problem)是一个十分古老的数学游戏.在西方和日本都
十分着名其日本名称为"算脱".又叫"继子立"李约瑟的《中国科学与文明≥第3卷介绍了这个问题在日本的情况后.接着写道:"但我们不能指出在中国的数学着作中曾出
现过这种'继子立'问题的实例."--实际上，在方中通的《数度衍》(1687年中就有一个这样的例子本文先简要介绍约瑟犬斯问题，然后分析方中通所给的题目
1约瑟夫斯问题
约瑟夫斯问题的基本形式是:
将个子排成一圈，在这个圈中以某子为起点.m个"个数子.将每次数到的
第m子去掉，直到去掉子为止问：保留下来的子在原来的圈中应排在哪些
位置上
据说古代罗马军队申有一种惩罚习惯：如果一个连队因为怯懦，反叛或其他理由应受到重罚时.那么就采用"见十去一(decimatio)"的办法进行处罚，即将队伍中凡是
在10的倍数位置上的人处死有关的事例可以追溯到公元前5世纪.后来这种制度一度
被废止不用了，到公元前7o多年，负责镇压斯巴达克起义(公元前73一前71年)的克
拉苏(Crassus)，重又使用了这种惩罚方法类似的方法在古代的民事战争中常被使用, 雄足球论坛但不～定是见十去一".也有其他的淘汰比率，如"见二十去一(vicesimatio)","见百收稿日期:!∞04…9修回日期:2(701031
作者简介：郭世荣.1959年生.内蒙古包头市阳县人.内蒙占师范大学科学史系教授，副系主任.中国科学
院数学与系统科学研究院数学研究所博1研究生，主要研究方向数学史，中国少数昆族科技史
基金项目：国家自然科学基盅数学天元基金赞助项目一内蒙古教育厅资助项日
自然科学史研究
去一(centesimatio)".等等.约瑟夫斯问题就是从此演变而来-e]
首先把这类问题和约瑟夫斯联系在一起的是4世纪的一本题为DeBeUoIndico的书0约瑟夫斯(FluviusJosephus,3738一约ioo)是一位犹太历史学家，也是公元66—7o年犹太人反罗马起义的军事指挥官.据载，公元67年春.罗马军队到达JIl~1]利，他坚
守要塞47天当城被攻陷时，他与40名战士隐藏在一个山洞里，战士们宁死不向罗马
人投降.他惊恐万状.诡称自杀不符合犹太人的道德，因此每个人要依次杀死挨着他的
人他们就用见几去一的方法决定处死同胞的次序.约瑟夫斯用计将自己排在最后的位
置上，当仅剩二人时他杀死了另一人.自己出来向罗马人投降([3].第9册.300页) 也有的书说他使自己和他的一个好友活了下来].尽管他本人说是因为偶然的机会
帝的帮助而生.但是后人还是把此类问题称为约瑟夫斯问题
l0世纪前.关于这个问题冉无其他记录，但从lo世纪开始，记载渐多起来.l0,
ll和l2世纪都有书提到过它([2j;[4].79页).以后欧洲关于算术和数学游戏的书
中常有此类问题出现.而最流行的是所谓"土耳其人和基督徒"问题:
有16个土耳其人和15个基督徒共乘一船，但困故必须将l3人扔下海方可保另15人生存.否则大家就得垒死.于是他们决定用"见十五去一"的办法选择牺牲者. 问题是：怎样排队才能使基督徒全部活下来?
近百年来也有将此类问题称为泰特问题的.因为苏格兰科学家泰特(PeterGuthrie Tait.1831一l901)于I898年对此种问题(共有个人，用见去一法淘汰k一人)给
出了一般解(Is];[4].459页).
在日本，同样的问题称为"算脱"，对此问题进行深入研究的是和算家关孝和(约1642一l708年).他在《算脱之法》(1687年)中，给出了计算脱数的方法，例子和一种
递推公式，用来计算当脱数m(即见去一)给定时.k为何数方可使在个人排成的
圈中排在第一位上的人一直保留下来.此问题在日本也以"继子立"闻名.关孝和的记
述如下:
"谓之继子立者，俗谚日：往昔，富农有子三十人.内十五人前妻之子.十五人
后妻之子也.后妻以为令我所产子嗣夫家.或时，谓夫日：交立三十子，而定算初.
顺算而中十者脱去之.使最末止者.嗣家乎?夫诺即后妻如前图固立之，从
算初顺算，而既脱去继子十四人，止一人.彼日：迄夸.一偏脱去了.请此后以我
为算初.逆算，而脱去焉.乃如其言，终，后妻子之脱尽.而彼继子一人止.得嗣
夫家也.此甚野鄙之语，而虽不足取之.然又于算不可无术也故扩充之，以述其
0设书的作者用了一个笔名赫格西普斯<Hegesippus)他是约瑟夫斯的E犹太战史；的拉丁文改定本的作者
算法流程图
(3.第S册.741页)数学史家史密斯LDESmkh)认为作者真正的名字可自E是阿姆布罗斯(Ambrose
ofMiLan.~1402--397)=2=.阿姆布罗斯是罗马帝国的位基督教会活动家米兰主教
(一3:.第1册.267
页)
霉算韧：即起点
雪顺算：按顺盯针方向计数
pku苯丙酮尿症
中十者脱去之即见十去一.
尊前囤：此处我们未『原图
1期郭世荣：方中通《数度衍}中所见的约瑟夫斯问题51
法也."
数学史家卡约里(FCajori)说日本的这种记述让继母算尽机关，却不能如愿，体
现了日本人的幽默([4],79页).这个问题在吉田光由的《尘劫记≥(1627年初版.1630
年再版)中也出现过.而更早的记述则可以追溯到12世纪-7,8一
郭金服关孝和之后，日本关于算脱的书很多，而且把问题做了推广，比如，依次按垛级数
脱去一子.等等.还出版了一些专着，如村井中渐(17o01797年)的《脱子术≥,《童子算法问》等等
此外.在El本和西方的数学书中关于这个问题的答案的暗语和谜语也相当多
总之，约瑟夫斯问题是一个十分古老而又着名的问题，它的起源很早，已有两千多年的历史，并且有各种不同的名称.在东方.以日本的"继子立"而为世人所知在中国是否出现过这类问题.过去还是不清楚的
2《数度衍》中的约瑟夫斯问题
方中通【16331698年J，字位伯.是明末清初着名哲学家和科学家方以智(161] 1671年)的次子.他自幼受家庭影响，对科学发生兴趣.并跟随波兰传教士穆尼阎学习
数学.到康熙初年，他已学有所成，成为有名的数学家，并和数学家梅文鼎(16031721 年)多所交流.
方中通于l66]年写出了《数度衍?凡例》，后经过二十多年的努力，才最终完成
全书，并于l687年刊印.《数度衍二十三卷，综台介绍当时传人中国的西算和中国传统的数学知识，是一部会通中西数学的着作.该书卷二f三的最后一个标题"杂收"
中
有如下题:;
"环二十子，内有二黑子相连.以九数之，止处即除一子，除毕.二黑不动.宜
从何处起
即有20个子.排成一圈，其中有2个黑的子相连排在一起.其余子均为白子或其他
的棋子现在的问题是!如果从某子开始数子.见九击一.将第九子去掉，然后接着往下数，往复循环.直到剩下二子为止，那么从哪子开始，可使剩下的二子恰是二黑子?海洋幼虫
显然，这个问题属于约瑟夫斯问题方中通的答案是:
"通日：五为九之中.左右各四，离黑子四位起可也"
也就是|兑，黑子前第四子作为见九去的起点(即关孝和所说的算初)，即可保证二黑子不动如果把20子从起点起编号，则二黑子应排在第五，六号上这个答案是正确的.
至于"五为九之中"，所以第个黑子应在第五位上，则只对本题成立方中通接着把这个问题做推广:
"大凡以九数者，不拘多寡，中必有相连二子不动七亦如之.惟起处当临时测耳"
设为任意个有限的正整数，取个子，把这个子排成圈.记为Q，为方便
计，我们分别给个子编号为l,2,….，并设见九去一是l号为起点的.方氏的推
广相当于给出了如下的命题:
命题1：对于，用"见九去一"之法除去一2个子后，所余2子的编号必为连续
自然科学史研究21卷
二数
命题2：对于给定的k.可以通过适当选择起点.使得用"见九去一"法除去Q中
k2个子后.所剩2子在给定的位置上
命题3：命题1和2对于见七去一也成立.
方中通没有说明这几个命题的来源和导出方式.经过检验.发现上述三个命题只对较小的一k成立，对于一般的命题并不成立.但是方中通的结果仍有可取之处.为了
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