【最新整理，下载后即可编辑】
康福 201103710031
1.1 无约束优化方法的必要性
一般机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它们都属于约束优化问题。但是为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。
（2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。
（3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。
（4）对于多维无约束问题来说，古典极值理论中令一阶导数为零，但要求二阶可微，且要判断海赛矩阵为正定才能求得极小点，这种方法有理论意义，但无实用价值。和一维问题一样，若多元函数F(X)不可微，亦无法求解。但古典极值理论是无约束优化方法发展的基础。
1.2共轭梯度法
目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。
（1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。
（2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。
用直接法寻极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。
搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。
共轭梯度法是沿着共轭方向进行搜索，属于共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。共轭梯度法作为一种实用的迭代法，它主要有下面的优点：
（1）算法中，系数矩阵Ａ的作用仅仅是用来由已知向量P产生向量W=AP，这不仅可充分利用Ａ的稀疏性，而且对某些提供矩阵Ａ较为困难而由已知向量P产生向量W=AP又十分方便的应用问题是很有益的。
（2）不需要预先估计任何参数就可以计算，这一点不像SOR等；
（3）每次迭代所需的计算，主要是向量之间的运算，便于并行化。
共轭梯度法原理的知识较多，请详见《机械优化设计》第四章的第四、五节。
图1为共轭梯度法的程度框图
图1为共轭梯度法的程度框图
2．设计题目及要求
2.1设计题目
用共轭梯度法求二次函数
的极小点及极小值。
2.2设计要求
（1）使用matlab编写程序，熟练撑握matlab编程方法。
（2）学习并撑握共轭梯度法的原理、方法及应用，并了解不同无约束优化方法的区别、优缺点及特殊要求。
医院院长
（3）编写程序，计算出二次函数的极小点及极小值，并适当选取不同的初始点及迭代精度精度，分析比较结果。
三．计算步骤
3.1计算求解
解：已知初始点[1,1]T 迭代精度
1）第一次沿负梯度方向搜寻
计算初始点处的梯度：
我的性经历
为一维搜索最佳步长，应满足
得：
2）第二次迭代
代入目标函数
由 得
从而有：
因
收敛。
3.2运行与程序
运行：打开matlab,确定conjugate_grad_2d.m文件夹为当前目录。
在命令窗中输入：f=conjugate_grad_2d([1,1],0.001)
选择不同的初始点坐标[0,0],[0,1],[1,0],和迭代精度0.01，0.0001,进行运行时，需要多次调用conjugate_grad_2d函数。
程序及说明：
混凝土配合比设计规范
function f=conjugate_grad_2d(x0,t)
管理幅度
%用共轭梯度法求已知函数f(x1,x2)=x1^2+2*x2^2-4*x1-2*x1*x2的极值点
%已知初始点坐标：x0
%已知收敛精度：t
%求得已知函数的极值：f
x=x0;
syms xi yi a; %定义自变量，步长为符号变量
f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi; %创建符号表达式f
fx=diff(f,xi); %求表达式f对xi的一阶求导
fy=diff(f,yi); %求表达式f对yi的一阶求导
fx=subs(fx,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对xi的一阶求导实值
fy=subs(fy,{xi,yi},x0); %代入初始点坐标计算对yi的一阶求导实值
fi=[fx,fy]; %初始点梯度向量
count=0; %搜索次数初始为0
while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t %搜索精度不满足已知条件
s=-fi; %第一次搜索的方向为负梯度方向
if count<=0
2012北京高考理综
s=-fi;
else
s=s1;
end
x=x+a*s; %进行一次搜索后的点坐标
f=subs(f,{xi,yi},x); %构造一元搜索的一元函数φ(a)
f1=diff(f); %对函数φ(a)进行求导
f1=solve(f1); %得到最佳步长a
if f1~=0
ai=double(f1); %强制转换数据类型为双精度数值
else
break %若a=0，则直接跳出循环，此点即为极值点
end
x=subs(x,a,ai); %得到一次搜索后的点坐标值
f=xi^2+2*yi^2-4*xi-2*xi*yi;
fxi=diff(f,xi);
fyi=diff(f,yi);
fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);韩炼润滑油
fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);
fii=[fxi,fyi]; %下一点梯度向量
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议