作业(2)
第2章 n 维空间中的点集
纸片胎
第3章 勒贝格测度
体访一、单项选择题
1.设n R E ⊂，n R x ∈0，若对0x 的任何邻域),(0δx N ，}){\(),(00x E x N δ ∅≠，则0x 是E 的（ ）．
(A) 内点 (B) 聚点
(C) 边界点 (D) 孤立点
2.设E 是]1,0[中的无理点集，则（ ）．
(A) 1=mE (B) 0=mE
(C) E 是不可测集 (D) E 是闭集
3.设n R E ⊂，若0=mE ，则（ ）．象征主义
(A) E 是有限集 (B) E 是可列集
(C) E 是有界集 (D) 以上都不对
4.设E 是任一可测集，则（ ）．第一首完整的七言诗
(B) E 是闭集
(C) 对任意0>ε，存在开集E G ⊃，使ε<)\(E G m (D) E 是有界集
金龟车贺比二、填空题
1.直线上任一非空有界开集可表成 个互不相交的开区间的并．
2.设n R E ⊂，若E 是有界 点集，则E 至少有一个聚点．
3.设A 是]1,0[中无理点的全体组成的集合，则=mA ．
4.设E 是n R 中的点集，如果对任意点集T ，都有
=T m * ，则称E 是勒贝格可测集．
5.设A 是n R 中坐标是有理数的点的全体，则=mA ．
三、证明题
1.设)(x f 是1R 上的实值连续函数，a 是任意给定的实数，证明)({x f x G = }a >是开集，})({a x f x F ≥=是闭集．
2.设n R M ⊂，试证}0),({==M x d x M ．
3.设21,E E 是n R 中任意两个点集，若0)\(*)\(*1221==E E m E E m ．则211221**)(*)(*E m E m E E m E E m === ．
4.证明：若0*=E m ，则E 为可测集．
5.设21,E E 都是可测集，试证：
)()(212121E E m E E m mE mE +=+
6.设 ,,,,21n E E E 是]1,0[中的一列可测集，且对任意正整数k ，有
k mE k 11->．试证1)(1
=∞= n n E m ． 7.设 ,2,1,]1,0[=⊂k A k 且1=k mA ．试证1)(1=∞
= k k A m ．
8.设n E E E ,,,21 是]1,0[中的可测集，并且11->∑=n mE n
i i ．试证：
0)(1>= n i i E m ．
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