延边大学学推(自然科学版)Journal of Yanbian University (Natural Science)第47卷第1期2021年3月Vol. 47 No. 1Mar. 2021
文章编号：1004-4353(2021)01-0021-06
林振生1，龙飞2
(1.福建工程学院计算机科学与数学学院，福建福州350118；
2.贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳550025 )
摘要：为了获得有非正初始能量解的爆破结果，将参数分成3类(①0和2</>W4 +寺；②p> 0,9< 0和2 +寺<p<2・2*；③p>O,0A 0和4 +寺 p<2・2*)进行讨论，并在不同参数假设下分 别给出了一类拟线性薛定谭方程的(RJ -解的爆破现象.研究表明，在第②类情形下，当p 趋近于2 +寺 时，柯西问题的解在时间无穷大时爆破.本文结果扩展了文献[8]的研究结果.
关键词：拟线性薛定谭方程；H 2(R N )-M；有限时间；爆破
中图分类号：0175.2 文献标识码：A
达标投产The blowing-up phenomena of H 2 (R N )-solution for
some kind of quasi -linear Schrodinger equations
棉杆LIN Zhensheng 1 , LONG Qunfei 2
(1. School of Computer Science and Mathematics , Fujian University of Technology , Fuzhou 350118 ? China ;
2. School of Mathematical Sciences , Guizhou Normal University , Guiyang 550025, China )
Abstract : In order to obtain a blow up result for the solutions with non-positive initial energy, we discuss them
... . . 4by dividing the parameters into three categories : (1) RW0, 0VO and 2 <C p 4 ； (2) p>0, 0VO and A A
2 — <C <C 2 • 2* ； (3)目 > 0, 0》0 and 4 十瓦 WpV2 • 2 *. And, with varying different parameter
assumptions , we separately prove the blowing-up phenomena of H 2 (R N ) -solution for some quasi-linear Schrodinger equations. The results show that for the second case, p approaching to 2 + 寻 additionally, the solutions o£ Cauchy problem blow up when the time tends to infinity. The results of this paper extend the results of the literature [8].
Keywords : quasi-linear Schrodinger equation ； H 2 (R N ) -solution ； finite time ； blow up
0引言
本文将考虑如下一类拟线性薛定谭方程
收稿日期：2020 - 11 -26 作者简介：林振生(1983-)，男，博士，讲师，研究方向为非线性分析及其应用.基金项目：国家自然科学基金面上项目(11871152)；福建省教育厅中青年教师教育科研项目(JT180326)；福建工程学院科研启动基金(GY-Z20090)；贵州师范大学博士科研启动项目(GZNU[2018]34)
22延边大学学报(自然科学版)第47卷(iu t+A m+0I%I p~2u+^A(I w12=0,
⑴\u0=况(鼻，0)EH2(R N)=W2・2(RN),*CRN
的H2(R N)-解的爆破现象其中：2<^<2-2
*,2*=-^-,『=一1,0GR,0GR,M=uU,t):R N X
—z
R+-C是复值函数，4=丈暮是标准的拉普拉斯算子.
目前，已有许多学者对方程(1)进行了研究，并取得了较好的研究成果.例如：方程(1)驻波解的存在性口切、方程(1)正解的存在性図、方程(1)解的渐近行为⑷、方程(1)柯西问题的局部或整体解的适定性闵.2014年,Adachi等⑷在方程(1)满足2+(2a~1)J y+2的条件下，刻画了方程(1)基态解的爆破率.Guo等在心8,0>O,0>O,N=1时和在GR,4+^S<2・2*时，分别得到了方程(1)的解在有限时间爆破刀和方程(1)的H?(RN)_解在有限时间爆破页的结论.1977年，Glassey给出了如下不等式页: 探术
Im ux•Vudrc
J r N|Vw|2djc>0(n(c n—1)—2〉0).
受到文献［8］以及不等式(2)的启发，本文在0€R"€R,2<p V2•2••的条件下，且在参数取值允许范围内通过选取不同取值探讨方程(1)的H?(RN)-解的爆破现象. 1主要结果及其证明
定理1设GH2(R N)(JV>1)是方程(1)的解，并且满足：
(I)V|u0|2eL2(R N)和”。€H2(R N);
(II)E(0)=J”(I V"o—于|2|2)dz£0；
(III)ImJ N u a x•Vu o dx V0，并且|j;|u0C L2(R N).
假设参数满足下列条件之一：
(IV)V0，其中：①2Vp V4；②4SW4+寻，并且0有界.
(V)0>o,evo,2+寻WpV2・2*.
(VI)p>0,0$0,4+寻SV2•2*.
在上述假设条件下，方程(1)的解在有限时间关于L2(卅)梯度爆破，即lim||W||轨rn>=+s，解在有限时间爆破.
注记1当0和2VpW4+寻时，方程(1)的解的爆破现象仍然是开放问题；当0=0时，方程(1)的能量E&)〉0，除非u=0和V况=0才会有E(£)=0.
注记2当^>0,0<0时，定理1将文献［8］中p的取值范围从4+-^</><2•2*拓宽为2+事V0V2.2J
注记3定理1中的条件(VI)也是文献［8］中的关键性条件，且本文采用的引入附加参数及逼近的青岛科技大学校园网
第1期林振生，等：一类拟线性薛定谭方程的H2(RN)-解的爆破现象23
证明方法同样适用于文献［8］中的定理1.1.
在证明定理1之前，首先给出引理1.
引理1设况是方程(1)在0££V上的解，则下列等式均成立:
(I)f%(工，£)|'Ar=［,0)12dj;,
(II)ECt)=
L mi)£V u(j;>0|2|u(rc?|V(u(rc\2)2
p Z
|V“(h,0)|2——|uQx,0)|^+-y V(uQx,0)|2)|2ir=E(0),
P/_
J r N\^x,t}\2\x\2dx=^N Im Vu•xudx,
罗尔斯Ax9
(IV)£(一J n】m Vu•xuAx j——
—2/R N W"I伽+PN(；_2)L m込—|V(|u|2)|2ck.为了证明方便，记：
D(t)=J斗I况(力，t)2||2d j:,
D1Q)=-j RN ImVu.^dx.(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
证明1)用云(云为“的复共辄)同时乘以方程(1)的两边并取积分得：
J"”\yu t u+△"”+/3|«|p~2uu+&△(|u12')uu]dz=0.
由上式可得：
*J"n吐一j"n[▽"•+0丨”丨"一(y|"|2)12]dz=o.
取上式的虚部可得[n g/dz=o，由此引理1中的(I)得证.
2)用疋同时乘以方程(1)的两边并取积分得：
J"[i|m;|2++0|%|p~2uu t+&△(|u|2)MZ4;]da:=0.
由上式可得：
ijj"」仏嗚{L屮-处SV+#W(|“|2)|[.
匡吉
对上式取实部即可证得引理1中的(ID.
3)用u\x\2同时乘以方程(1)的两边并取积分得：
ij N u t u|x12cLr+J“[△"/|x|2+/?|«|p~2uu|x|2+«△(|u\2)uu|x|2]dx=0.
由上式可得：
n M2I2+]」创"丨"&丨2一Vzz•Vit|rr2+Vuu・V rr|2—
0|V(|m|2)|\x\2一3V\u\2u2•V rc|2H d j;=0,
Y寻J r N％2&'dz+L[0%"I力I$—2W・xu—|V u|2|j;|2—^|V(|u|2)|\x\2—
24延边大学学报(自然科学版)第47卷
20 V w 2 ■ xu 2^Ax =0.
对上式取虚部即可证得引理1中的(III).
4)由于％是方程(1)的解，则对式(8)关于£求一次导数可得:
ImJ n (兀尤 W + ux^Ut^Ax = 一 Im dDiG) (2rr Vu + Nu)u t dx
Re J “(2工 V u + Nu) (Au + /? | u | p ~2u + &(△ | u \ 2)u)dr.
(9)
由于Re J n (2 r e Vw + Nu) Audj ： = 一Rej * CVzz V(2rr Vu) + N Vu = 一N 〔 w Vzz |2 dx 一
2J 科 % |2 da ： — J V | Vw 12d^: = — 2
Ref
J r N Z]0 J r N
(2j 7 V m + Nu) I U p ~2uAx ——N r N 诃“|任=呵』“皿―钊护u | p ~2 j ； v w |2 Ax ——n J * 冲 I " V ・ j : | u p A jc = N 〈P 戸~ J “ \u\p Ax , % | 少 da: +Re (2x V m + Nu)(△ u |2)udz = Re
-N
V | u |2 12dLz —(10)(11)N(A | u |2) | u |2 d X + j w (xV|u|2)(A|w|2)dx =V|u|2 V(xV|u|2)d^=-(N+l) V | u |2 12dLz —IL jc V | V u |2 \z dx — — (N + 1)
|v|u|2 |2dx =| V« \2dx ，妙dz +
^Llvi.ri 22(12)
因此将式(10),(11)及式(12)代入式(9)即得式(6)，由此可知引理1中的(IV)得证.
下面对定理1中的E(0)< 0和Im[ Vu • xu^c V0做合理性分析.选择与文献[8]—样的检验函
J r n
数 ”(rc) =Ae _i 1 x 12 9?(rc) , A >0，这里卩(z)是一个实泛函,x E R N , i 2 = — 1.因为 Imj"阳u • xudjc =—2A 2£n l^l 2 \<p\2dx ，所以无论是哪种情况,Im£N Vu • xudx < 0都成立.
下面验证E(0)<0.根据检验函数”(工)的定义和引理1中的(II)有：
E(0)=右卩审(4 |z 12 | 卩 |2 + | V 卩 12)ir — —£N | p | p dx + I V | ^ |2 12<^ . (13)由以上可知，可以在不同允许取值参数范围内对E(0) < 0进行讨论.
第1种情形 因为0WO,0V 0及2VPW4 +寻，所以在式(13)中只有第3个积分项是负的， 且容易推得E(0) <0.事实上，当2<p<i 时，有0 Vp —2V2.因此，当入足够大时，E(0) £ 0成立. 当4<^<4 + ^,A 1时，有旷 $护，且式(13)中的第1个积分项恒正.又因为0有界，所以E(0) <0 成立.
第2种情形 因为p>0,9<0，所以式(13)中的第2个和第3个积分项都是非正的，并且第3个 积分项恒负•而p>2，故当入足够大时,E(0)<0成立.
第3种情形因为0> 0,0^0，所以在式(13)中只有第2个积分项是负的.而0〉4，故当入足 够大时,E(0) < 0成立.
定理1的证明 根据E(0) < 0的爆破理论，需要从式(6)中得到如下不等式：
第1期
林振生，等：一类拟线性薛定谭方程的H2(RN)-解的爆破现象25dD j (^ | Vw|2dz > 0, a > 0.
(14)di
J r " 1 1为了能使爆破指数P 在定理1中的3种假设((IV)、(V)和(VI))条件下均能使式(14)成立，本文引入了 一个参数a(a>0).于是由式(6)可得：
叫⑵
=_辺(/) + (a_2)|~ | Vw |2 dx +
~ 2N ~ 2a) f |“|”血 +di J r N p J r N i
0[a —(, + 2)] Jjv(|“|2)|仏. (⑸由式(15)可知，只需得到式(16)即可得到式(14).
dD, (t) $ @ _ 2)[ |y ”|2dz >o, a —2) >0. (16)d£ J r n
由于引入的常数a 与方程(1)无关，所以不能将定理1的条件直接代入式(15)进行验算.因此，在满足式
(16)的条件下，本文利用式(15)对p 的取值范围进行如下分析：
第1种情形 当gO,0V 0和E(0) < 0时，由式(15)可知a>0,a —2>0，以2 +寺和 a WN + 2.结合2 Vp V2 • 2*，可推得2 <0 = 2 +牛虫.当a 取最大值时，p 的取值范围最大；而 a 的最大值是N + 2，故p 的最大取值范围是2 V p W 4 +备.
第2种情形根据p>0,9< 0和E(0) < 0与2<p<2 - 2*，可以推得2 +等Wp V2 • 2* 和a W N + 2，且只有当a 达到最小值时p 的取值范围达到最大.又因为a > 2，故0的取值范围是2 +A 寺 VPV2.2”.
第3种情形根据禺0的条件和E(0) W0与2 < /> < 2 • 2* ，可推得2 +等Wp V 2 • 2*和 a N N + 2，且只有当a 取最小值N + 2时，p 的取值范围达到最大，故p 的最大取值范围是4 + * £ /><2 • 2*
.根据DQ)、Di(J)的定义以及式(6),(16)、柯西-施瓦兹不等式和变量分离法可得:DO $Di(0)D(0)
D(0) —Di(0)(a —2)t (17)
式(17)的详细证明可参见文献[8].由式(17)可进一步推得％D(0)D(0)(a —2)•取丁*=阳，则存在T 。W
T
* ，使得lim | V m I l 2(r n )lim D (0)[Di (0)卡
“£)(0) — Di (0) (a — 2)t (18)
由式(18)可知，方程(1)的解在有限时间爆破.
推论1 设wU,z) €H 2(R N )(N>1)是方程⑴的解，同时满足定理1中的(I)、(II)、(III)和(V)，则方程⑴的解“Q")在指数p 的取值范围(2 +警三0<2・2*
)逼近最大范围(2 +半Vp V2 • 2-)时依赖于e，且在时间丁*=斗冰 —+°°时爆破.
Di (0)£定理1中力和a 的取值范围是2 +等冬少<2 • 2*，并且a 满足a £ 2 + N.又因为在定理1的证 明中要求a > 2 ，所以只有当a 无限地趋近于2时，p 的取值范围才能无限地趋近最大.因此，可以用逼近
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