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期权定价数值方法之蒙特卡洛模拟【python量化】

期权定价数值⽅法之蒙特卡洛模拟【python量化】

期权定价数值⽅法之蒙特卡洛模拟

前⾔

蒙特卡洛模拟最重要的应⽤之⼀是对未定权益，如期权、衍⽣品、混合型⼯具的估值。在风险世界中，未定权益的价值是风险中⽴（鞅）测度下的折现后的预期收益。

⼀、蒙特卡洛模拟思路

蒙特卡洛模拟需要⽤到风险中⽴世界思想。其基本思路为：尽可能的模拟风险中性世界中标的资产价格的多种路径，计算每种路径下的期权回报均值，再贴现就可得期权价格。

①在风险中性世界⾥对S的随机路径进⾏抽样，这就给出了标的资产价格路径的⼀个实现。

②计算这条路径下的期权回报。

③重复计算步骤①、②，得到许多样本结果，即风险中性世界中的期权回报值。

ansoft

④计算这些回报的均值，得到风险中性世界中的预期期权回报值。

⑤⽤⽆风险利率进⾏贴现，得到这个期权的估计价值。

⼆、随机过程

前⽂说到，蒙特卡洛模拟⽅法需要模拟标的资产的价格路径，⽽价格路径的变化是随机的，可以通过数学上的随机过程进⾏模型。因此本部分将介绍集中主流的随机过程。

粗略地讲，随机过程是⼀个随机变量序列。但是随机数的选取⼀般不是独⽴的，⽽是依赖于前⼏次选取的结果。不过，⾦融学中使⽤的随机过程通常表现出马尔科夫特性 ——主要的含义是：明天的过程值只依赖于今天的过程状态，⽽不依赖其他任何“历史”状态，甚⾄不依赖整个路径历史。这种过程也被称做“⽆记忆过程 ”

1.⼏何布朗运动

根据Black-Scholes模型，在风险中性世界中，标的资产价格变量遵循⼏何布朗运动，⼏何布朗运动的数学公式为：

式中的Zt 是标准布朗运动，SDE被称作⼏何布朗运动。St 的值呈对数正态分布。

⼏何布朗运动的代码实现如下所⽰：

# 随机过程

# ⼏何布朗运动

S0=100

r=0.05

sigma=0.25

T=2

I=10000

M=50

dt=T/M

液基细胞学

s((M+1,I))

S[0]=S0

中国教育学刊for t in range(1,M+1):

S[t]=S[t-1]*np.exp((r-0.5*sigma**2)*dt+sigma*np.sqrt(dt)*npr.standard_normal(I)) plt.figure(figsize=(10,8))

plt.hist(S[-1],bins=50)

plt.xlabel('到期⽇时⼏何布朗运动模拟的股票价格')

plt.ylabel('频率')

plt.figure(figsize=(10,8))

plt.plot(S[:100],lw=1.5)

plt.xlabel('时间')

plt.ylabel('股票价格')

plt.title('⼏何布朗运动下的股票价格路径')

这⾥假设标的资产的初始价格为100，利率r为0.05，波动率为0.25。从图中可以看出，⼏何布朗运动模拟标的资产价格路径呈现对数正态分布，且价格路径的分析多集中在初始价格100左右，这说明模拟结果出现极端数值的概率⽐较⼩。

2.Heston随机波动率

在Black-Scholes模型中，最重要的简化假设之⼀便是波动率恒定不变。⽽在市场中，波动率不是恒定不变的，⽽是随着时间的变化⽽变化，是具有随机性的。因此随机波动率过程的提出对之前的⼏何布朗运动进⾏了改进。

Heston模型的代码实现如下所⽰：

# heston随机波动率

tpos

S0=100

r=0.05

v0=0.1

kappa=3

theta=0.25

sigma=0.1

rho=0.6

T=1

corr_s((2,2))

corr_mat[0,:]=[1,rho]

corr_mat[1,:]=[rho,1]

cho_mat=np.linalg.cholesky(corr_mat)

cho_mat

M=50

I=10000

dt=T/M

ran_num=npr.standard_normal((2,M+1,I))

s_like(ran_num[0])

s_like(v)

v[0]=v0

vh[0]=v0

for t in range(1,M+1):

ran=np.dot(cho_mat,ran_num[:,t,:])

vh[t]=(vh[t-1]+kappa*(theta-np.maximum(vh[t-1],0))*dt+sigma*np.sqrt(np.maximum(vh[t-1],0))*np.sqrt(dt)*ran[1])

v=np.maximum(vh,0)

s_like(ran_num[0])

S[0]=S0

for t in range(1,M+1):

ran=np.dot(cho_mat,ran_num[:,t,:])

S[t]=S[t-1]*np.exp((r-0.5*v[t])*dt+np.sqrt(v[t])*ran[0]*np.sqrt(dt))

fig,(ax1,ax2)=plt.subplots(1,2,figsize=(10,6))

ax1.hist(S[-1],bins=50)

ax1.set_xlabel('股票价格')

ax2.hist(v[-1],bins=50)

ax2.set_xlabel('波动率')

fig,(ax1,ax2)=plt.subplots(2,1,sharex=True,

figsize=(10,6))

ax1.plot(S[:,:100],lw=1.5)

ax1.set_ylabel('股票价格')动力学模型

ax2.plot(v[:,:100],lw=1.5)

ax2.set_ylabel('波动率')

zingtv从图中可以看出，Heston随机波动率模型对价格路径的模型情况相⽐于⼏何布朗运动⽽⾔，呈现出明显的波动性特征，且波动率过程的平均飘移值收敛于0.25（θ数值）。

本文发布于:2024-09-22 14:31:47，感谢您对本站的认可！

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标签：路径价格过程

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