宝钢电子商务平台补铁剂Capte4布朗运动和伊藤公式
谈心疗法⼀、Brown 布朗运动
1.1 马⽒性马⽒性质：未来只与现在有关，与过去⽆关 总酚马尔科夫链（马⽒链）
随机过程，状态空间，若对任⼀时刻以及任意状态，有，即n+1时刻状态只与前⼀时刻有关，与之前⽆关。连续马尔可夫过程（时间连续，状态离散） 马⽒性总结
1.2 Brown 运动
Brown运动是特殊的马⽒过程（时间、状态均连续），具体定义如下。
若随机过程满⾜以下三个条件：
1）2) 平稳性：$\forall0<s<t,W(t)-W(s)~ N(0,t-s) $
3) 独⽴增量性：之间相互独⽴
则称随机过程为布朗运动布朗运动⼜称维纳运动
⼏何布朗运动：⼆、⼆次变差
的⼆次变差
任意给定的划分，则对于任意连续函数，的⼆次变差定义为：性质：，其中proof: (中值定理)思考：将换为布朗运动会如何？
-连续但是处处不可微，中值定理失效
布朗运动的⼆次变差性质：
任意给定的划分，则对于任意连续函数，的⼆次变差，有如下性质：{X (t ),t ∈T }I ={0,1,2,⋯}n i ,i ,⋯,i ,i ,j 01n −1P (X (x )=n +1j ∣X (n )=i ,X (i )=n −1i ,⋯,X (1)=n −1i ,X (0)=i )=0P (X (n +1)=j ∣X (n )=i )P (X (x )=t +s j ∣X (s )=i ,X (u )=x (u ),0≤u ≤s )=P (X (x )=t +s j ∣X (s )=i )
马⽒性=⎩
⎪⎨⎪⎧马⽒链马⽒过程泊松、连续时间马⽒链=时间、状态均离散=时间、状态均连续=时间连续、状态离散{W (t ),t ≥0}W (0)=0
W (t )−n W (t ),W (t )−n −1n W (t ),⋯,W (t )−n −12W (t ),W (t )11{W (t ),t ≥0}dS =t uS dt +t σS dW t t
f (t )[0,T ]Π:0=t <0t <1⋯<t =N T f (t )f (t )Q =Π[f (t )−∑i =0N −1i +1f (t )]i 2
lim Q =Δ→+0Π0Δ=∣t ,t ∣i ∈[0,N ]max
三国鼎立形势图i +1i Q =Δ→+0lim Π[f (ξ)(t −Δ→+0lim ∑i =0N −1′i i +1t )]≤i 2f (t )(t −t ∈[0,T ]max ′∑i =0N −1i +1t )≤i 2f (t )ΔT ∈[0,T ]max ′f (t )W (t )W (t )W (t )[0,T ]Π:0=t <0t <1⋯<t =N T W (t )W (t )Q =Π[f (W )−∑i =0N −1i +1W (t )]i 2Δ=∣t ,t ∣i ∈[0,N ]max
i +1i
(在)
proof: (独⽴同分布下的⼤数定理) 令，证性质意义：不管划分多细，累计平⽅和永远为不为0，意味着布朗运动即使在很短时间内，波动都太频繁
布朗运动⼆次变差的另⼀种形式
proof：三、⼏何布朗运动
标准布朗运动：满⾜三条性质，，平稳性和独⽴增量性
⼏何布朗运动
设漂移项为，尺度参数为，则⼏何布朗运动定义为:，微分形式为PS：虽然处处不可为，但是仍有意义，表⽰布朗运动在⽆穷⼩时间间隔内的变化
意义：可以时间变化有正有负，因⽽不能描述估价变动，但是可以描述收益率变动，收益率为股价的变化率 ⽤⼏何布朗运动刻画股价
设为股票价格，则为股价的变化量，表⽰收益率，若收益率符合⼏何布朗运动，即，即，则称其为满⾜⼏何布朗运动的股价。为什么⽤⼏何布朗运动刻画股价？1.正态分布：股价连续复利收益率符合正态分布2.马⽒过程：只需当前价格就可预测未来价格
3.布朗运动处处不可微和⼆次变差不为0的性质，符合股价收益率在时间上存在转折尖点的特征
四、伊藤引理
对于⾦融衍⽣品，其价格是股价的函数。令为布朗运动的平滑指数。由于布朗运动不可微性，古典积分求解⽆效，此时便引⼊伊藤积分。
4.1伊藤积分基本关系式
⽽⼆次变差下知道不趋于0，因⽽是不可忽略的，更有性质：⼀般地，若，则proof 古典微分：伊藤微分(): $
4.2伊藤引理⼀般形式
Q =Δ→+0lim ΠT L 意义下2X =Q ΠE (X )=Δ→0lim 0,V ar (X )=Δ→0lim 0
dW =t 2
dt E (dW )=t 2dt ,V ar (dW )=t 2
2dt 2B (0)=0ut σX (t )=ut +σW (t )dX (t )=udt +σdW (t )
W (t )dW (t )X (t )t S (t )dS (t )S (t )dS (t )=S (t )dS (t )ud (t )+σdW (t )dS (t )=uS (t )d (t )+σS (t )dW (t )f (W )t W t df Δf =f (W +t ΔW )=t f (W )(ΔW )+
′t t (ΔW )+2!f (W )′′t t 2(ΔW )3!f (W )′′′t t 3ΔW t 2d W =2t d t
⟹df =df (W )=t f (W )dW +′t t f (W )dt
21′′t f =f (x ,t )df =(+∂t ∂f )dt +21∂x 2∂f 2dW ∂x ∂f t
df =dt +∂t ∂f dx
∂x ∂f x =W t df =+∂t ∂f dW +∂x ∂f t d W =21∂x 2∂f 22t (+∂t ∂f )dt +21∂x 2∂f 2dW ∂x ∂f t
上述设是X和t的函数，现在考虑满⾜布朗运动，即。更⼀般的，令，考虑伊藤过程，则有：proof ⼜因为，因此(前⼀项两项都是的⾼阶)。从⽽有4.3伊藤公式()
令，设 4.4伊藤⼩定理
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若满⾜,，则：
f =f (X ,t )X (t )dX (t )=udt +σdW t a =a (X (t ),t ),b =b (X (t ),t )dX (t )=a (X (t ),t )dt +b (X (t ),t )dW t df =(+∂t ∂f a +∂x ∂f b )dt +212∂x 2∂f 2(b )dW ∂x ∂f t
df =df (x ,t )=
dt +∂t ∂f dx +∂x ∂f d x 21∂x 2∂f 22dx (t )=a (x (t ),t )dt +b (xs (t ),t )dW t d (x )=2[a d t +222ab (dW dt )]+t b d W ≈22
t b dt 2dt df =dt +∂t ∂f (adt +∂x ∂f bdW +t b )dt =212∂x 2∂f 2(+∂t ∂f a +∂x ∂f
b )dts +212∂x 2∂f 2b dW ∂x ∂f t X (t )=S t S =t X (t ),dS =t u (S ,t )dt +t σ(S ,t )dW t t V =t f (S ,t )
t ⟹dV =t (+∂t ∂V u +∂S ∂V σ)dt +212∂S 2∂V 2σdW ∂S ∂V t
X ,Y t t dX =t u 1dt +σdt 1dY =t u 1dt +σdt 1⎩⎪⎨⎪⎧d (X Y )t t d ()T t X t =X dY +Y dX +σσY t t t t 12t =+Y t 2Y dX −X dY t t t t Y t 3σX −σσY 22t 12t
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