统计学复习笔记
一、思考题
在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量.估计量也是随机变量.如样本均值，样本比例、样本方差等. 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值.
2．简述评价估计量好坏的标准
(1）无偏性:是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成.有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差(即置信区间），并不说明置信度,也不给出被调查的人数，这是不负责的表现.因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”),有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度(由后面给出的公式），反之亦然。
4．解释95％的置信区间的含义是什么
置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95％（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以0。95的概率覆盖总体参数。
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5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1.估计总体均值时样本量n为
2.太阳启示录样本量n与置信水平1—α、总体方差、估计误差E之间的关系为
▪与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；
▪与总体方差成正比,总体的差异越大，所要求的样本量也越大；
▪与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、练习题
1．从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本,样本均值为25。
1)样本均值的抽样标准差等于多少？
2)在95％的置信水平下，估计误差是多少？
解:已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本,样本均值=25,
（1)样本均值的抽样标准差===0.7906
(2）已知置信水平1－=95%，得 =1。96，
于是，允许误差是E ==1.96×0.7906=1.5496。
2．某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。
1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。
2)在95%的置信水平下，求估计误差。
3)如果样本均值为120元，求总体均值µ的95％的置信区间。
解：（1）已假定总体标准差为=15元，
则样本均值的抽样标准误差为 ===2.1429
（2)已知置信水平1－=95％，得 =1.96,
于是，允许误差是E ==1.96×2.1429=4。2000.
（3)已知样本均值为=120元，置信水平1－=95％，得 =1。96，
这时总体均值的置信区间为 =120±4。2=
可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为(115.8，124。2)元。
3．从一个总体中随机抽取n =100的随机样本，得到 =104560，假定总体标准差σ = 85414,试构建总体均值µ的95％的置信区间。
解： 已知n =100， =104560，σcnki学术 = 85414,1—α＝95% ，
由于是正态总体,且总体标准差已知.总体均值μ在1—α置信水平下的置信区间为
104560 ± 1。96×85414÷√100
= 104560 ±16741.144
4．从总体中抽取一个n =100的简单随机样本，得到 =81，s=12.要求：
1）构建µ的90％的置信区间.
2）构建µ的95％的置信区间。
3）构建µ的99％的置信区间。
解：由于是正态总体，但总体标准差未知。总体均值μ在1—α置信水平下的置信区间公式为
81±×12÷√100 = 81±×1。2
1）1-α＝90％，1.65
其置信区间为 81 ± 1。98
2）1—足球经理97α＝95％ ，
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其置信区间为 81 ± 2.352
回馈制动3) 1-α＝99％，2.58
其置信区间为 81 ± 3.096
5．利用下面的信息，构建总体均值的置信区间.
1）= 25，σ = 3.5，n =60，置信水平为95％
2）=119，s =23.89，n =75，置信水平为98％
3）=3。149，s =0.974,n =32，置信水平为90％
解：∵
∴ 1) 1—α＝95％ ，
其置信区间为：25±1.96×3。5÷√60
= 25±0.885
2） 1-α＝98% ,则α=0.02, α/2=0。01, 1-α/2=0.99，查标准正态分布表，可知： 2。33
其置信区间为： 119±2.33×23.89÷√75
= 119±6.345
3) 1-α＝90％，1.65
其置信区间为: 3。149±1.65×0.974÷√32
= 3.149±0。284
6．利用下面的信息，构建总体均值µ的置信区间：
1）总体服从正态分布,且已知σ = 500,n = 15， =8900,置信水平为95%。
解: N=15，为小样本正态分布,但σ已知。则1-α＝95%，.其置信区间公式为
∴置信区间为：8900±1.96×500÷√15=（8646.7 ， 9153.2）
2）总体不服从正态分布，且已知σ = 500，n = 35, =8900,置信水平为95％。
解：为大样本总体非正态分布,但σ已知。则1—α＝95%，。其置信区间公式为
∴置信区间为:8900±1。96×500÷√35=（8733。9 9066.1)
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