Du
Cx y Bu Ax x
+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:r
m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情 况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。２．状态空间描述的特点
①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。④状态变量的选择不唯一。
江苏省镇江中学⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３．模拟结构图（积分器加法器比例器）
已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４．状态空间表达式的建立
1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积
分器的输出选作i x ，输入则为i x
；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。2
由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。
方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。
b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28
c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。
5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。
特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。
状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同，2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。
系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。
6．由状态空间表达式求传递函数阵)
(s W D
B A sI
C s W ++-=-1)()(r m ⨯的矩阵函数［ij W ］ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。
子系统的并联、串联、反馈连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵)(s W 。方法：画出系统结构图，理清关系，用分块矩阵表示。
7．离散系统的状态空间表达式及实现（模拟结构图）
Du
k Cx k y Hu k Gx k x +=+=+)()()()1(8．时变系统：四个矩阵是时间t 有关的。
非线性系统：各微分方程组的右端含有状态变量的非线性项。利用泰勒级数可以线性化。
第二章控制系统状态空间表达式的解
一．线性定常系统齐次状态方程（Ax x
= ）的解：0)(x e t x At
=二．矩阵指数函数——状态转移矩阵1．At
e
t =)(φ表示)0(x 到)(t x 的转移。5个基本性质。
2．At
e 的计算：
a 定义；
b 变换为约旦标准型AT T J 1
)(-=Λ或,1
1--Λ=T Te T Te e Jt t At 或c 用拉氏反变换]
)[(11---=A sI L e
At
记忆常用的拉氏变换对
2
222212cos ;sin ;)(1;!;1;1;1)(1;1)(ωωωωωδ+↔
+↔+↔↔+↔↔↔↔-+-s s
t s t a s te s n t a s e s t s t t at n n at d 应用凯莱-哈密顿定理
三．线性定常系统非齐次方程（Bu Ax x
+= ）的解：τ
ττφφd Bu t x t t x t
)()()0()()(0
⎰-+=。可由拉氏变
换法证明（当然给出拉氏变换法的求解思路）。求解步骤：先求At
e t =)(φ，然后将B 和u(t)代入公式即可。特殊
激励下的解。
四．线性时变系统的解
１．状态转移矩阵用),(0t t φ来表示。２．),(0t t φ的计算：当)()()()
(0
t A d A d A t A t
t t
t ττττ⎰
⎰
=
时，])(exp[),(0
0ττφd A t t t
t ⎰=；通常不等。
不满足乘法可交换条件时，一般采用级数近似法：
+++=⎰⎰⎰010
10
00
00
)()()(),(ττττττφτd d A A d A I t t t t
t t
t ３．解为：τ
τττφφd u B t t x t t t x t
t )()(),()(),()(0
00⎰+
=五．离散时间系统状态方程的解（递推法和Z 变换法）１．递推法
k G k =)(φ为状态转移矩阵；满足I
k G k ==+)0();()1(φφφ
解为，τ
φφτφφd j Hu j k x k k x d j Hu j k x k k x k j k j )()1()0()()()()1()0()()(1西安体育学院学报
10
∑∑-=-=--+=--+
=或直接计算k
G k =)(φ有一定困难，可采用这样的步骤：先将原状态方程化为约旦标准型，求变换矩阵T ，
)(~)(k x T k x =，再求出)(~k x ，再得到)(k x 。当然k k Λ=)(~φ，1)(~
)(-==T k T G k k φφ。
２．Z 变换法
公式不用记忆，现推最好。
)]
()[()]0()[()(1111z Hu G zI Z zx G zI Z k x -----+-=；可见k
G k =)(φ＝1
1
市场经济的弊端
)[(---G zI Z z];
计算)(k x 的用到的内容：部分分式展开（先除z 后乘z ）；ZT 对0;111
≥-=-↔
-k a z z
az
a k 六．连续时间状态空间表达式的离散化１．定常系统的离散化a.
Du
Cx y Bu Ax x
+=+= )
()()()
()()()()1(k Du k Cx k y k u T H k x T G k x +=+=+→
AT
e
T G =)(；B
dt e T H T
At ⋅=
⎰
丙烯酰胺中毒)
(b.近似离散化
)
()()()
()()())1((k Du k Cx k y kT TBu kT x I TA T k x +=++=+即
TB
T H I TA T G ≈+≈)(;)(２．时变系统的离散化
qbz95b
略
第三章线性控制系统的能控性和能观性
一．能控性及能观性定义（线性连续定常、时变系统，离散时间系统）二．线性定常系统的能控性判别（具有一般系统矩阵的多输入系统）判别方法（一）：通过线性变换
Bu Ax x
+= Bu T ATz T z
11--+=→ １．若A 的特征值互异，线性变换（Tz x =）为对角线标准型，AT T 1
-=Λ，能控性充要条件：B T 1-没有全
为０的行。
变换矩阵T 的求法。
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1
-=，能控性充要条件：①对应于相
同特征值的部分，每个约当块对应的B T
1
-中最后一行元素没有全为０的。②B T 1-中对应于互异特征根部分，
各行元素没有全为０的。变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1
-
T 、B T
1
-。
判别方法（二）：直接从Ａ，Ｂ判别
Bu Ax x
+= 能控的充要条件是
能控性判别矩阵),,,(1
2B A
B A AB B M n -= 的秩为n 。
在单输入系统中，M 是一个n n ⨯的方阵；
而多输入系统，M 是一个nr n ⨯的矩阵，可通过)(T
MM rank rankM =三．线性定常系统的能观性判别判别方法（一）：通过线性变换
Cx
y Ax x == →
TCz
y ATz T z ==-1
２．若A 的特征值有相同的，线性变换（Tz x =）为约当标准型，AT T J 1
-=，能控性充要条件：①对应于相
同特征值的部分，每个约当块对应的TC 中第一列元素没有全为０的。②对应于互异特征根部分，对应的TC
中各列元素没有全为０的。变换矩阵T 的求法。
这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较复杂，关键是求T 、1
-T 、TC 。
判别方法（二）：直接从Ａ，C 判别
能观性的充要条件是能观性判别矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=-1n CA CA C N
的秩为n 。在单输入系统中，N 是一个n n ⨯的方阵；
而多输入系统，N 是一个n nm ⨯的矩阵，可通过)(T
MM rank rankM =四．离散时间系统的能控性与能观性
)
()()()()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x +=+=+能控性充要条件),,,(1
2H G
H G GH H M n -= 的秩为n 。
能控性充要条件⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-1n CG CG
C N
的秩为n 。五．时变系统的能控性与能观性（与定常系统不同）
１．u t B x t A x
)
()(+= 在],[0f t t 上状态能控的充要条件是格拉姆矩阵),(0f c t t W 非奇异。dt
t t t B t B t t t t W T T t t f c f
),()()(),(),(0000φφ⎰=),(0t t φ与),(0t t φ一样么？
这种方法要求先计算出状态转移矩阵，如果无法写成闭解，则失去工程意义。２．使用)()(t B t A 信息
))(,),(),(()(21t B t B t B t Q n c =，其中)()(1t B t B =，)()()()(1
1t B t B t A t B i i i --+-= 如果存在某个时刻0>f t ，使得n t rankQ f c =)(，则系统在],0[f t 上是状态完全能控的。
３．能观性判别与能控性类似，也可以使用格拉姆矩阵),(0f o t t W ，但工作量太大。可使用)()(t C t A 信息：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=)()()()(21t C t C t C t R n ，其中)()(1t C t C =，)()()()(1
1t C t C t A t B i i i --+= 如果存在某个时刻0>f t ，使得n t rankR f =)(，则系统在],0[f t 上是状态完全能
观测的。
１．若T A A 12=，T C B 12=，T
B C 12=，则),,(1111C B A ∑与),,(2222C B A ∑对偶。
对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是相同的。２．1∑与2∑对偶，则1∑能控性等价于2∑能观性，1∑能观性等价于2∑能控性。
时变系统的对偶原理七．能控标准型和能观标准型
对于状态反馈，化为能控标准型比较方便；对于观测器的设计及系统辨识，能观标准型比较方便。１．能控标准Ⅰ型（如果已知系统的状态空间表达式）①判别系统的能控性。②计算特征多项式011
1||a a a A I n n n
+++=---λλ
λλ ，即可写出A 。③求变换矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111n c A p A p p T ，111],,][1,,0,0[--=B A Ab b p n 。④求11-c T ，计算⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-1001
1 b T b c ，1c cT c =，也可以验
证是否有11
1c c AT T A -=。２．能控标准Ⅱ型
1
判别系统的能控性。②计算特征多项式011
1||a a a A I n n n +++=---λλ
λλ ，即可写出A 。
③求变换矩阵],,,[1
2b A Ab b T n c -= 。④求12-c T ，计算⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-00112 b T b c ，2c cT c =，也可以验证是否有
21
2c c AT T A -=。
３．能观标准Ⅰ型
①判别系统的能观性。②计算特征多项式011
1||a a a A I n n n
+++=---λλ
λλ ，即可写出A 。③求变换矩阵
logistic模型
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=--11
1
n o cA cA c T 。④求1o T ，计算b T b o 11-=，[]0011 ==o cT c ，也可以验证是否有111o o AT T A -=。４．能观标准Ⅱ型
①判别系统的能观性。②计算特征多项式011
1||a a a A I n n n
+++=---λλ
λλ ，即可写出A 。③求变换矩阵
[]
11112
,,,T A AT T T n o -= ，⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=--1001
11 n cA cA c T 。④求02T ，计算b T b 102-=，[]10002 ==cT c ，也可以验证是否有21
2o o AT T A -=
。
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