拉格朗日乘数法例题及详解

拉格朗日乘数法例题及详解：

曹限东一、介绍

1、拉格朗日乘数法是一种用于求解多个变量间约束条件最优解的求解方法，它的基本原理是：将目标函数的约束条件写成方程组的形式，通过引入拉格朗日乘子，将目标函数和约束条件写成关于未知变量的一个整体函数，使用牛顿迭代等法则迭代出未知变量组合，从而求得一个全局最优解。

二、具体例题

令$f(x,y,z)=2x+3y+4z$，满足等式约束条件的极大值

(1)$x+y+z=10$

(2)$2x+y+2z=15$

通过引入拉格朗日乘子，可将此问题可以转换为求解拉格朗日函数

$L(x,y,z,\lambda,\mu)=2x+3y+4z+\lambda(x+y+z-10)+\mu(2x+y+2z-15)$

使用拉格朗日乘数法，将上式代入得

$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x}=2+\lambda +2\mu=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=3+\lambda +\mu=0\\ \frac{\partial L}{\partial z}=4+\lambda+2\mu=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z-10=0\\ \frac{\partial L}{\partial \mu}=2x+y+2z-15=0 \end{cases}$

求解该线性方程组

复方安息香酊$\begin{cases} x=3-\lambda -\mu\\ y=-2+2\lambda\\ z=2-\lambda-2\mu\\ \lambda+\mu=2 \end{cases}$

代入原问题可得

$f(3-\lambda-\mu,-2+2\lambda,2-\lambda-2\mu)=2(3-\lambda-\mu)+3(-2+2\lambda)+4(2-\lambda-2\mu)=20$

中国给水排水编辑部因此，该问题的极大值为20，满足上述约束条件的变量有$x=3-\lambda-\mu，y=-2+2\lam

许渊冲bda,z=2-\lambda-2\mu$

中国驻法国的参赞>聚丙烯酰胺凝胶三、结论

拉格朗日乘数法是一种灵活有效的取得各多元非线性函数的最优解的求解方法，它可以将问题的求解转换成求解拉格朗日函数的方程组，从而快速求解多变量间约束条件的最优解。

本文发布于:2024-09-21 18:51:54，感谢您对本站的认可！

本文链接：https://www.17tex.com/xueshu/115189.html

上一篇：拉格朗日乘子法原理

下一篇：拉格朗日对偶函数拉格朗日对偶问题