前言
闲得无聊来学学看。
抽代相关的前置技能自然是一点不会的，所以一些内容就只能感受一下。 总的来说就是我们一般见到的形式幂级数都是形如 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+... f(x)=a0+a1x+a2x2+... 但这里讨论的幂级数是形如 f ( x ) = a − m x − m + . . . + a − 1 x − 1 + a 0 + a 1 x + . . . + a n x n + . . . f(x)=a_{-m}x^{-m}+...+a_{-1}x^{-1}+a0+a_1x+...+a_nx^n+... f(x)=a−mx−m+...+a−1x−1+a0+a1x+...+anxn+...
也就是幂级数中带上了负数次幂，所以在拉格朗日反演公式定理中会出现形如 x − 1 x^{-1} x−1的东西。2019干网站
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拉格朗日反演公式实际上是用来求复合逆的。
所谓复合逆就是对于两个常数项为000且一次项系数互为逆元的多项式f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)，满足g(f(x))=xg(f(x))=xg(f(x))=x 由于常数项为000的形式幂级数在复合运算中构成，所以实际上也有f(g(x))=xf(g(x))=xf(g(x))=x
所以称f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)互为复合逆。丝网除沫器安装
假设现在知道g(x)g(x)g(x)的系数，现在要求f(x)f(x)f(x)的系数。
若 g ( f ( x ) ) = x g(f(x))=x g(f(x))=x则有 [ x n ] f ( x ) = 1 n [ x − 1 ] 1 g ( x ) n [x^n]f(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{g(x)^n} [xn]f(x)=n1[x−1]g(x)n1
换个形式就是 [ x n ] f ( x ) = 1 n [ x n − 1 ] ( x g ( x ) ) n [x^n]f(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{g(x)})^n [xn]f(x)=n1[xn−1](g(x)x)n。
证明
设 f ( x ) = a 1 x + . . . f(x)=a_1x+... f(x)=a1x+...
由 f ( g ( x ) ) = 0 f(g(x))=0 f(g(x))=0可以得到 ∑ k ≥ 0 a k g ( x ) k = x \sum_{k\ge0}a_kg(x)^k=x k≥0∑akg(x)k=x
两边求导得 ∑ i ≥ 1 k a k g ( x ) k − 1 g ′ ( x ) = 1 \sum_{i\ge1}ka_kg(x)^{k-1}g'(x)=1 i≥1∑kakg(x)k−1g′(x)=1
工业控制计算机两边同时除以 g ( x ) n g(x)^n g(x)n再取 x − 1 x^{-1} x−1项系数可以得到 [ x − 1 ] ∑ i ≥ 1 k a k g ( x ) k − n − 1 g ′ ( x ) = [ x − 1 ] 1 g ( x ) n [x^{-1}]\sum_{i\ge1}ka_kg(x)^{k-n-1}g'(x)=[x^{-1}]\frac{1}{g(x)^n} [x−1]i≥1∑kakg(x)k−n−1g′(x)=[x−1]g(x)n1
因为一个形式幂级数求导后 x − 1 x^{-1} x−1次项系数必然为 0 0 0，所以对于等号左边中 k = ̸ n k=\not n k≠n的项，其 x − 1 x^-1 x−1项次数必然为 0 0 0。
于是 [ x − 1 ] n a n g ′ ( x ) g ( x ) = [ x − 1 ] ( 1 g ( x ) ) n [x^{-1}]na_n\frac{g'(x)}{g(x)}=[x^{-1}](\frac{1}{g(x)})^n [x−1]nang(x)g′(x)=[x−1](g(x)1)n
设 g ( x ) = b 1 x + b 2 x 2 + . . . g(x)=b_1x+b_2x^2+... g(x)=b1x+b2x2+...
则 g ′ ( x ) g ( x ) = b 1 + 2 b 2 x + . . . b 1 x + b 2 x 2 + . . . \frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{b_1+2b_2x+...}{b_1x+b_2x^2+...} g(x)g′(x)=b1x+b2x2+...b1+2b2x+...
= b 1 + 2 b 2 x + . . . b 1 x ⋅ 1 1 + ( b 2 b 1 x + b 3 b 1 x 2 + . . . ) =\frac{b_1+2b_2x+...}{b_1x}·\frac{1}{1+(\frac{b_2}{b_1}x+\frac{b_3}{b_1}x^2+...)} =b1xb1+2b2x+...⋅1+(b1b2x+b1b3x2+...)1
= ( x − 1 + h ( x ) ) 1 1 + ϕ ( x ) =(x^{-1}+h(x))\frac{1}{1+\phi(x)} =(x−1+h(x))1+ϕ(x)1
= ( x − 1 + h ( x ) ) ( 1 − ϕ ( x ) + ϕ ( x ) 2 − ϕ ( x ) 3 + . . . ) =(x^{-1}+h(x))(1-\phi(x)+\phi(x)^2-\phi(x)^3+...) =(x−1+h(x))(1−ϕ(x)+ϕ(x)2−ϕ(x)3+...)
yz68潍坊市政坛地震其中 h ( x ) h(x) h(x)和 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)为两个幂级数。
所以有 g ′ ( x ) g ( x ) \frac{g'(x)}{g(x)} g(x)g′(x)的 x − 1 x^{-1} x−1项系数就等于 1 1 1。
于是就可以得到 a n = 1 n [ x − 1 ] 1 g ( x ) n a_n=\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{g(x)^n} an=n1[x−1]g(x)n1
这就是我们要证的式子了。
若 G ( F ( x ) ) = x G(F(x))=x G(F(x))=x则有 [ x n ] H ( F ( x ) ) = 1 n [ x − 1 ] H ′ ( x ) 1 G ( x ) n [x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{-1}]H'(x)\frac{1}{G(x)^n} [xn]H(F(x))=n1[x−1]H′(x)G(x)n1。
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