构造拉格朗日函数
拉格朗日的定义就是，有多少个约束，每个约束乘以拉格朗日乘子再加上原目标，所以是累加。 设目标函数
是 ff ，约束条件是 g=0g=0 。不妨设 f,gf,g 都是三个未知数 x,y,zx, y, z 的函数。条件合适的时候，约束条件在三维空间
R3\mathbb{R}^3 中定义了一个光滑
曲面 SS 。比如如果 g=x2+y2+z2−1g=x^2+y^2+z^2-1 ， g=0g=0 定义的就是单位球面。 函数 ff 在约束条件下取极值，就是 ff 在 SS 上的限制 f|Sf|_S 取极值。在极值点 p=(x0,y0,z0)p=(x_0, y_0, z_0) 处，函数 ff 的梯度 gradf\text{grad} f （ ff 增加最快的方向）必定垂直于曲面 SS ：因为若不垂直，那么它在过 pp 的切平面
上有一个非零投影，它就是 f|Sf|_S 的梯度
向量 gradf|S\text{grad} f|_S 。这样限制在曲面上时，顺着 gradf|S\text{grad}f|_S 的方向， f|Sf|_S 的值还会增大。反过来反着梯度方向 f|Sf|_S 的值会减小。也就是说这个地方不可能是极值点
。中学生数理化
阿富汗将有新宪法>分量信号
既然 gradf\text{grad}f 垂直于曲面，而我们又知道梯度方向垂直于等值面，也就是说 gradg\t
ext{grad}g 也垂直于曲面。这样这俩梯度是相关的（在同一条直线上），用 λ\lambda 表示他俩之间的相关系数（也就是向量长度的代数比例），就得到：
后退哥
gradf=λgradg\text{grad}f = \lambda \text{grad} g 。
考德威尔
这个就是拉格朗日函数对 x,y,zx, y, z 求偏导，令其等于零之后得到的等式，也就是下面三个等式的向量表示：
酚醛树脂的合成fx−λgx=fy−λgy=fz−λgz=0f_x - \lambda g_x=f_y - \lambda g_y = f_z - \lambda g_z = 0 。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议