1引言
拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。
达朗贝尔原理由法国物理学家与数学家让•达朗贝尔发现并以其命名。达朗贝尔原理表明：对于任意物理系统，所有惯性力或施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所作的虚功的总合为零。即： (1)
其中为惯性力，。为粒子所受外力，为符合系统约束的虚位移。
则虚位移可以表示为：
(2)
取速度对于广义速度的偏微分：
(3)
首先转化方程(1) 的加速度项。将方程(2) 代入：
应用乘积法则：
注意到的参数为，而速度的参数为，所以，
。
因此，以下关系式成立：
(4)
将方程(3) 与(4) 代入，加速度项成为
代入动能表达式：，
则加速度项与动能的关系为
田婆婆事件
30过氧化氢
(5)
然后转换方程(1)的外力项。代入方程(2) 得：
(6)
其中是广义力：
将方程(5) 与(6) 代入方程(1) 可得：
(7)
假设所有的广义坐标都相互独立，则所有的广义坐标的虚位移也都相互独立。由于这些虚位移都是任意设定的，只有满足下述方程，才能使方程(7) 成立：
(8)
这系统的广义力与广义位势之间的关系式为
代入得：
定义拉格朗日量为动能与势能之差，可得拉格朗日方程：
3 哈密顿原理推导 哈密顿原理可数学表述为： 210t t Ldt δ=⎰ 在等时变分情况下，有 ()d q q dt δδ•=
focusaudio2211()0t t t t Ldt L dt δδ==⎰⎰ (1)
由拉格朗日量定义得，在等时变分情况下有
L L L q q q q δδδ••∂∂=+∂∂ (2)
其中第一项可化为：
()()()L
L d d L d L q q q q dt dt dt q q q q δδδδ•••••∂∂∂∂==•-∂∂∂∂ (3) 将(3)代入(2)得
()()d L d L L L q q q dt dt q q q δδδδ••∂∂∂=•-+∂∂∂ (4)
将(4)代入(1)得 2121()(())0t t t t L
d L L q q q dt dt q
q q δδδ••∂∂∂•+-+=∂∂∂⎰ (5) 在12,t t 处0q δ=，所以(5)变为
21(())0t t d L L q q dt dt q q δδ•∂∂-=∂∂⎰ (6) 即
2
发现与创造
1[(())]0t t d L L q dt dt q q δ•∂∂-+=∂∂⎰ (7)
q 是独立变量，所以
拉格朗日方程：
4欧拉-拉格朗日方程推导
欧拉-拉格朗日方程可以表述为：
设有函数和：
其中是自变量。
若存在使泛函取得局部平稳值，则在区间内对于所有i，皆有：
若设独立变量为时间，函数为广义坐标，泛函替换为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程
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