系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。 第一节基本概念
状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，
又不足以描述系统状态。因此，当系统能用最少的个变量
关于上班这件事完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，
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以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。而时
刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
的分量，则称为状态向量，记以，上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。一旦给定时的初
始状态向量及的输入向量，则的状态由状态向量唯一确定。
状态空间以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称状态空间。系
统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统的状态可由轴、
轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由轴、
轴、轴组成的三维状态空间中一点来表示；阶系统的状态则由轴，…，轴组成的维状态空间中一点来表示。
初始时刻的状态在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。
状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。由于阶系统有个独立状态变量，于是状态方程是个的一阶微分方程或差分方程。当系统用高阶微（差）分方程或传递函数表示时，可以转化为状态方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态方程也不同，故系统的状态方程也具有非唯一性。
在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即
u的导数为零。单输入线性定常连续系统，其状态变量为，则一般形式的状态方程写作：
(2-1)
中常系数与系统特性有关。方程（2－1）可写成向量矩阵形式：
(2-2)
式中
; ;
；
称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵（在此为列矩阵）。
多输入（含个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：
方玉婷(2-3)
方程(2-3)的向量－矩阵形式为
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(2-4)
式中为维列向量，为输入矩阵，或称控制系数矩阵，有
输出方程系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程，它是一个代数方程。
单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：
(2-5)
式中常系数与系统特性有关。可写成向量矩阵形式：
(2-6)
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式中为输出矩阵（在此为行矩阵），为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：
(2-7) 式(2-7)中，省略符号。
其向量－矩阵形式为
(2-8)
式中
为 输出矩阵， 为 前馈矩阵。
状态空间表达式 状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。单输入－单输出系统动态方程一般形式为
(2-9)
式中 为 维状态向量， 与 为标量，
为 阶方阵， 为( )向
量， 为 向量， 为标量。 多输入－多输出系统动态方程一般形式为
(2-10)
式中 为(
)向量， 为 向量， 为( )向量， 为 阶方
阵， 为 矩阵， 为 矩阵， 为 矩阵。由于
完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统
。
fdi当采用向量－矩阵形式表示系统时，读者应注意根据矩阵相乘、相加的运算法则，熟练进行向量、矩阵的维数分析。至于单输入－多输出以及多输入－单输出系统的动态方程及向量、矩阵的维数分析，读者应自行导出。动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规定为
输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量）
注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
图2－1 动态方程的结构图表示
状态空间分析法以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，例如倒立摆控制系统、航天器控
制系统、导弹控制系统、机器人控制系统。因此状态空间分析法是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。
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