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文/罗悦悦 罗树霞 赵秀兰 邱克娥
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摘要：傅里叶级数是数学分析中的重要内容，它的实际应用价值十分广泛，主要列举其在数学物理等方面的一些具体应用。关键词：傅里叶级数；数学；物理；工业；应用
1 引言
傅里叶级数是数学分析的基础内容，教材介绍了傅里叶级数展开和其相关的定理，书中却很少列举其实际应用情况，因此在学习中，由于理论学习和实际应用的脱离，常常很难深入理解傅里叶级数的含义。事实上，傅里叶级数不仅对偏微分方程的发展有很大的推动力，在数学物理和工程领域都有重大的应用，文章以理论为依据，详细介绍了傅里叶级数的实际学习及生活应用情况。
2 傅里叶级数
傅里叶级数指的是法国著名数学家J.B.J.傅里叶发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，后人称该级数为一种特殊的三角级数。在中国，程民德首次成功证明了傅里叶 级数的多元簇和三角级数的球形和的唯一性，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
定义 若函数ƒ(χ)在区间[-π,π]
可积，则称
是函数ƒ(χ)的傅里叶系数。以函数ƒ(χ)的傅里叶系数为系数的三角函数称为函数的傅里叶级数，记为
：
3 傅里叶级数的应用
潘神的迷宫好看吗3.1 傅里叶级数在数学领域的应用
3.1.1 利用傅里叶级数证明等式
证明两个式子相等的方法有很多，利用傅里叶级数进行证明两式相等，通常是将其中的一个式子变成傅里叶级数的展开式加以证明。
例1：把函数展开成傅里叶级数。
解：由系数公式得
：
当
故的傅里叶级数展开式为
：
3.1.2 利用傅里叶级数证明不等式
傅里叶级数的二次收敛的特性可以使得一个新的式子首先可以展开成为一个傅里叶展开级数后，再与另一个新的式子一起展开成傅里叶展开级数，从而可以使用傅里叶展开级数方法来证明不等式成立。
例2：如果及其导函数在上都是可积的， ，
证：
由题意可设
当
由贝塞尔等式得
：
故该命题成立
3.1.3 使用傅里叶级数来求级数和的等式
利用傅里叶级数求解级数的和，通过计算到一个函数，使该函数的傅里叶级数可以展开来成为所求的级数和。
日本现人类头盖骨例3：
解：令满足，取，这时
有
取得
3.2 傅里叶级数在物理上的应用
在量子力学教学中，傅里叶级数展开的方法常被用来求解波函数在量子系统中的应用。在周期势场中，可以基于傅里叶级数展开和 Hilbert 空间态向量的概念求解波函数，这种方法可以将解周期势场中的薛定谔方程变换成矩阵方程。在电工学中，电磁波函数展开为
， 其中均为常数，
这种展开的方式称为谐波分析，常数项被称为直流分量。在电子技术中，通常使用矩波来输送信号。
3.3 傅里叶级数在工业上的应用
最优轨迹规划是工业机器人的最佳控制问题之一，其规划任务是按照给定路径点，规划通过该点并满足边界约束条件的最佳运动轨迹，为了最优能量的运动轨迹优化，通常对操作空间和关节空间进行最
优规划，可根据机器人或驱动器手册直接确定最大速度或力矩，保证其关节运动的连续性。从工业机器人的关节空间着手，以单关节系统为例，针对单关节系统的运动形式，通常使用电机的角度θ(t)来描述t时刻下单关节系统位置，并假设带负载的单关节系统从角度θ0运动到角度θi，运动时间为T且运动过程中存在以下约束：
（2）
傅里叶级数能够表示任意连续的周期函数，单关节系统关节角度θ(t)是关于时间的映射，利用傅里叶级数可以描述时间区域[0,T]内的任意θ(t)，时间区域[t0,ti]内的θ(t)的傅里叶级数为：
金融时报中文（3）（
——傅里叶级数的一次谐波，
对（2）式进行一次求导、二次求导得到角速度和加速度的表达形式与（3）式都为无穷级数，但系数都无法完全获得，因此截取有限项数对傅里叶级数进行逼近。假设截取的项数为K，则关节系统运动位置和规律的傅里叶级数一般表达式为：
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（上接74页）实验研究中，让本科生通过查阅文献、做实验、讨论等方式尽早的加入到科学研究中。另一方面研究生学历成了很多就业岗位学历要求的最低门槛，本科生考研大势所趋，可是很多有考研意向的学生就如何考研、如何选择专业和学校、如何复习顺利通过研究生笔试和面试存在较多疑虑与困惑，而这些又正好是研究生助教刚刚经历过的，他们通过分享他们的考研心得、学习心得，一对多的解答复习计划于服饰准备等问题，引导好学生做好考研规划和指导。3.5 引导大学生创新创业 当前，大学生就业形势严峻，创新创业成了大学生就业发展的有效途径，研究生助教组织创新创业有经验的毕业生分享成功的创新创业案例，在校期间积极带领本科生一起参加创新创业课题与比赛，通过专业课程、实践课程相结合，提高本科生的创新创业意识和能力，为研究生与本科生共同拓宽专业视野，培养自主创业提供可借鉴的经验。4 结语
研究生助教对本科生朋辈教育是分享式开放式的教育，青年大学生正处于人生观、世界观、价值观形成的重要阶段，尤其是90后、00后大学生在网络泛化的今天，受到多元价值观的冲击，自我意识加强
、个性鲜明、兴趣广泛，不适应传统式的灌输与说教。研究生助教与其他高校教师相比具有天然的优势，研究生助教在培养自主学习能力、学业规划、考研
指导、大学生创新创业、职业规划、人际关系适应等方面，指导本科生如何从源头上树立目标，激发本科生内在动力，更懂本科生遇到的困难与疑惑，遵循成长规律，以同辈榜样的作用引领本科生，浸润到学习、生活等方方面面，实现三全育人与立德树人的有机统一。参考文献：
[1] 赵争艳.高校大学生朋辈教育的理论思考与实践探索[J].传播力研究,2020（19).
[2] 王云海，滕云，童德毅.朋辈教育视角下的学业辅导工作探索.北京教育.德育,2014（12)
[3] 张伟. 世界一流大学研究生助教制度研究—— 基于斯坦福大学的个案分析[J].山东高等教育,2017（01).
作者简介：于欢（1986—），女，黑龙江鸡西，硕士，讲师，研究方向：大学生思想政治；孙强，（1978—），男，辽宁沈阳人，硕士，副教授，研究方向：大学生思想政治教育与学业指导。
基金项目：本文系遵义医科大学辅导员工作室“遵义医科大学学业指导辅导员工作室”地厅级（编号：2018FDY-06）。
（作者单位：
遵义医科大学）
综合上述，提出了一种以傅里叶级数表征运动轨迹和规律，能够有效表示全域轨迹和规律，因此通过遗传算法优化可以得到全域最优轨迹。3.4 傅里叶级数的其它应用
在实际的应用中，傅里叶级数主要应用依赖于吉布斯现象。如今在铁路上的客运量也可预测，自然事害灾难中的损失也可预测[5]。除了可以用于预测现象外，傅里叶级数还同样可以应用于计算机的图像处理、抽样调查、数据处理、图像的逻辑处理等诸多领域。4 结语
傅里叶级数在实际生活中的应用十分广泛，它将一个复杂的函数分解为简单的三角函数使问题简单化，这也彰显了它独特的数学工具魅力。
参考文献：
[1] 刘玉琏，傅沛仁，林玎.数学分析讲义(第五版)[M]，高等教育出版社,2008.
[2] 同济大学数学教研室.高等数学(第四版)[M]，高等教育出版社,2002.[3] 徐海黎，解祥荣，庄健，王孙安.工业机器人的最优时间与最优能量轨迹规划[J].机械工程学报,2010(9).
[4] 梅江平，方志炜，贺莹，臧家炜，孙玉德.基于傅里叶级数的最优能量运动轨迹优化方法[J].机械设计,2018(10).
[5] 王亚男.傅里叶级数在实际生活中的应用[J].科技创新与应用,2014(13).
基金项目：贵州师范学院大学生自主科研项目（编号：2019DXS062）。
通讯作者：邱克娥（1986-），女，贵州贵定人，副教授，从事函数论和解析不等式的研究。
作者简介：罗悦悦（2000-），女，贵州遵义人，本科在读。
（作者单位：贵州师范学院 数学与大数据学院）
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