Vol. 27 No. 12Dec. 2020
第27卷第12期2020年12月电光与控制Electronics Optics & Control 引用格式：杨洁，廖亮，魏平像 广义奇异值分解的高阶图像低秩近似方法[J] •电光与控制,2020, 27( 12)：53-57. YANG J, LIAO L,WEIPJ. A low-rank approximation method for high-order images based on tensorial singular value decomposition [ J ]. Electronics Optics & Control, 2020, 27(12): 53-57.
广义奇异值分解的高阶图像低秩近似方法
杨洁，廖亮，魏平俊 (中原工学院电子信息学院，郑州450007)
摘要：针对合成孔径雷达图像易受外界环境干扰导致获取的图像信息准确度降低的问题，提出一种基于广义奇异
值分解的高阶图像低秩近似方法。首先，在经典奇异值分解的基础上，利用邻域选取法将经典二维矩阵推广到广义 高阶矩阵；其次，利用“t-product ”模型将经典矩阵算法推广到广义矩阵的相关算法，得出广义奇异值分解的具体实现 过程；最后，在广义奇异值分解和经典奇异值分解的条件下，通过实例分析并利用结构相似度和峰值信噪比比较其低
秩近似性能。仿真实验验证了广义奇异值分解技术相比于经典奇异值分解，不仅充分考虑图像像素点之间的相互作
用与空间结构，而且随着广义矩阵阶数的扩展，所获得的图像结构相似度越大，峰值信噪比越高，可将其应用于高阶 图像的低秩近似、重构。
关键词：合成孔径雷达图像；广义奇异值分解；奇异值分解；邻域选取法；“t-product ”模型
中图分类号：TP391.41 文献标志码：A doi : 10.3969/j. issn. 1671 -637X. 2020.12.012
A Low-Rank Approximation Method for High-Order Images
Based on Tensorial Singular Value Decomposition
YANG Jie, LIAO Liang, WEI Pingjun
(College o£ Electronics and Information, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China)
Abstract : To solve the problem that the accuracy of the acquired SAR image information is reduced due to
the interference of external environment, a low-rank approximation method for high-order SAR images based on Tensorial Singular Value Decomposition ( TSVD ) is proposed. Firsdy, on the basis of classical Singular
Value Decomposition ( SVD ), the classical two-dimensional matrix is extended to the tensorial high-order matrix by using the neighborhood selection method. Secondly, the classical matrix algorithm is extended to the algorithm related to the tensorial matrix by using “t-product ” model, and the specific implementation process
of TSVD is obtained. Finally, the performance of low-rank approximation under the conditions of TSVD is
compared with that of the classical SVD by using structural similarity and PSNR. The simulation results show that, compared with the classical SVD, the TSVD fully considers the interaction and spatial structure between
image pixels, and with the expansion of the order of the tensorial matrix, the higher the similarity of image
structure and the higher the PSNR. The method can be applied to the low-rank approximation and reconstruction of high-order images.
Key words : SAR image ； tensorial singular value decomposition ； singular value decomposition ； neighborhood
selection method ； "t-product ” model
o 引言
随着信息技术的发展，人们不仅能处理二维图像,
收稿日期：2019-11-08 修回日期：2020-10-27
基金项目：高端外国专家项目(GDW20186300351)
作者简介：杨 洁(1993 -)，女，河南新乡人，硕士生，研究方向为高 阶图像分析与识别。
也能处理三维甚至更高维图像，例如雷达图像、生物医 学图像、高光谱图像等。由于图像在成像、传输和存储
中易受到环境或设备方面的噪声干扰，从而影响分割、 低秩近似与识别等后续工作的处理质量，导致图像所
传递的信息出现误差，以致于无法正确地获取、识别和
处理，因此，采取有效措施对高阶图像信息进行降 维和特征提取，获得清晰准确的图像具有重要的现实 意义2。
54电光与控制第27卷
目前，大量学者针对矩阵低秩近似给出了多种见解。张晓锋等提出了奇异值分解低秩近似法；刘松华等凹提出了核矩阵列相关低秩近似分解算法；卢桂馥等问提出了Hessian正则化的低秩近似分解算法等。
虽然都能达到低秩近似的效果，但是上述方法针对的均为传统二阶矩阵。为了充分利用图像的邻域信息和空间结构，本文提出了基于TSVD的高阶图像低秩近似方法，该方法以合成孔径雷达图像为研究样本，采用基于循环卷积的广义矩阵模型冋，将传统的SVD 算法和近几年出现的TSVD算法推广至更高阶，并将其应用于高阶图像，通过图像结构相似度(SSIM)和峰值信噪比(PSNR)分析其低秩近似性能。
1合成孔径雷达图像
成像雷达是一种可用于成像的雷达设备，主要通过提供它的光来照亮地面上的区域，并在无线电波中拍照。一种典型的雷达技术包括发射无线电波，接收它们的反射波，并利用这些信息生成数据。对于成像雷达，返回波被用来产生图像，当无线电波反射出物体时，这将对无线电波进行一些改变，并可以提供有关物体的数据，包括电波传播的距离和它们遇到的物体类型。利用采集到的数据，计算机可以生成目标的二维或三维图像。
一般来说，它们利用了由物体的旋转或其他运动引起的多普勒效应，以及由物体与在地球上飞行的物体(通常是飞机)的雷达所感知的后向散射之间的相对运动引起的物体视角的变化[15-171o通过最近技术的改进，雷达成像越来越精确，成像雷达已被用于绘制地球、其他行星、小行星以及其他天体的地图，并对军事系统的目标进行分类。同时，成像雷达可应用于地表地形和海岸变化、土地利用监测、农业监测、冰巡、环境监测、天气雷达-风暴监测、风切变预警、医学微波断层成像等。
2广义矩阵
2.1广义矩阵基本定义
矩阵为二阶数组，其元素可以由两个下标进行索弓I，例如矩阵A的第(ij)个元素可以表示为4血)，向量
为一阶数组，其元素可以由一个下标进行索引，例如向量a的第i个元素可以表示为s，而标量为零阶数组，其元素无需下标索引，例如标量a。
在机器学习和视觉应用中，数据通常以数组的形式给出，而高阶数组是将传统矩阵中的标量元素扩展为广义标量(t-scalar)，广义标量是一个固定大小的数组，例如广义标量的第(处，处)个元素可以表示为a(叫，如2)，以广义标量为元素组成的矩阵称为广义矩阵(-matrix)。广义矩阵在结构上是高阶数组，艸阶数组表示的广义矩阵称为N阶广义矩阵，记为X,”e口仏"“”，其中，厶表示第i阶广义矩阵的长度，且厶〉1,i=1,2,…,N。广义矩阵中的某个元素可以记作,1W 彳W厶,1Wi WN。利用广义矩阵模型可推广许多已知的矩阵算法，且具有从多个方向捕获图像频率分量的内置机制，可分析不同的频率成分，如图像和视频。
2.2广义标量模型
广义标量集合C三C7'37中的一个元素，即一个N阶复数数组，如果限定广义标量的元素都为实数，则可定义广义标量的N阶实数组，即集合R三…定义C或7?均为交换环结构，且乘积用循环卷积替代。以下运算均是在环中进行定义，利用基于卷积的乘法替换常用的实数乘法将经典矩阵算法推广到广义矩阵算法。
KILMER等在2011年提出“t-product”模型〔⑷，是将传统矩阵中的单个像素以列向量来替代，进而对扩
展后的矩阵进行分析求解。而本文中所提出的广义矩阵是在KILMER研究的基础上对矩阵像素进行邻域扩展，使原始的单个像素扩展为广义标量或广义矩阵，从而使原始矩阵扩展为高阶广义矩阵，然后将时域的循环卷积通过傅里叶变换转换为频域的相乘，再进行相关运算。以二阶t-scalar为例，给出以下定义叫切。
定义1t-scalar加法：给定尺寸均为mxn的广义标量%，和久，则c,=x t+y,,c,wmxn，且满足对应元素相加和。
定义2t-scalar共辄：给定尺寸mxn的广义标量九，其共辄可通过傅里叶变换求得，即对签先进行傅里叶变换求得F(x t)，再求取共最后进行傅里叶逆变换即可求得。
定义3t-scalar乘法：给定尺寸均为mXn的两个广义标量叫和久，定义两者乘积％=%。久是由爺和久做二维循环卷积所得，且满足
[/]”””，=Z E[%]也•Vw15w2(i)
k、—1—1
式中:=mod((w；—k x),m)+1;k'2=mod((w2-k2), ")+1。同样地，可通过二维快速傅里叶变换及其逆变换求得乘积d t，因为以下定理成立。
定理1傅里叶变换：给定广义标量兀和久，以及两者的乘积d t-x t»y t，设F(%),F(y,)和F(d<)分别表示各自的傅里叶变换，则
通过傅里叶变换，其相乘次数由原来循环卷积的(mn)2减少到傅里叶域中的nwi，这些乘法可以在并行
第12期杨洁等：广义奇异值分解的高阶图像低秩近似方法55
计算环境中实现。因此，定理1常作为循环卷积的快速算法。
定义4广义矩阵的加法：给定两个广义矩阵X,”e
和Y tm e R"，®，则两者之和C,m=X,”+匕”也是0xO2的广义矩阵，且满足对应项相加和。
定义5广义矩阵的乘法：给定广义矩阵X,”e
和Y tm e，其乘积由C,m=X,”o Y lm e
给出，且满足
［C,”hj=工Vi,J o(3)
k=1
定义6广义矩阵的共辄转置：给定尺寸为0x D2的广义矩阵X,”e R"，5，则共辄转置x：6R25是一个新的广义矩阵，且满足
［就打=［乙”］：JjgWDJWjwy。(4) 3广义标量的SVD分析(TSVD)
3.1TSVD技术
奇异值分解的主要缺点是处理的对象只能是传统二阶矩阵，然而，实际数据通常是高阶的。为更好地分析高阶图像信息，本文采用一种基于TSVD技术的高阶图像分析方法，在传统的奇异值分解和KILMER研究的基础上进行扩展皿八如。主要分解为
(5)式中，卩：是匕”的共辄转置，分解对象可以是二阶、三阶甚至更高阶数组，阶数由定义的t-scalar来决定。当广义标量中m==l时，广义矩阵转变为传统矩阵，故TSVD向下兼容传统SVD0
给定广义矩阵G,”，可如TSVD算法计算式(5)。S”j F(GJ
for to m do
for w?—1to n do
求切片G””(^,%)并计算其传统SVD %仙，"2)j U,s#”仙皿2)，啓)j V
end for
end for
return
u,mu胡,s,ms屛,Vlm^F-i(v fl j o 3.2TSVD低秩近似
给定尺寸为0x D2的广义矩阵X tm e，令Q丄min(0X0)，通过式⑸求解当广义矩阵的非零特征值个数为r(lWrWQ)时的X,”的低秩近似矩阵主”,X”也是广义矩阵，为
乂”=E”。$”。记。(6)由式(6)可知，％e R"，也和V lm e是正交广义矩阵e R"“是对角广义矩阵，且=diag(A t.1,…，入z<)，其中，九为广义特征值，且九」，…，九，"弄Z,。当t-scalai维度为1x1时,TSVD降阶为传统SVD。
3.3图像质量评价指标
SSIM与PSNR提供了一个衡量图像失真或噪声水平的客观标准，通常用来作为图像压缩等领域中信号低秩近似质量的测量标准。
图像压缩后，输出的图像通常都会在某种程度上与原始图像存在差异，为衡量经处理后的图像质量，可参考PSNR值来认定低秩近似效果是否达到要求，常通过均方差(MSE)进行定义，峰值信噪比(PSNR)越大表示失真越小。两个gxh单图像/和K,/为K的噪声近似，则均方差和峰值信噪比分别定义为
华夏智能气功弘=左土工MW)-MJ)『(7)
gn i=i j=i
r2
Rp.s.N=10•lg(严)=20•lg(—(8)
V^MSE
式中,G"*是图像的灰度级，表示图像点颜的最大数值，常表示为G"*=255。
另外，还可通过计算不同图像结构信息的相似性来判断图像质量的好坏。因结构相似性受亮度和对比度信息的制约，故评价图像质量时应在考虑结构信息的同时考虑这两者的影响凶。具体计算方法如下所示。
首先求解图像的均值、方差及协方差
〕=空(9)
g入"i=l j=l
1h,
d(J)=J Q工-心尸J=I,K
g X门一丄21j=i
(10)
[g h
d(I,K)=J3工-u⑴-u(K))0
g x ri—L i=l j=i
(11)
而图像结构相似度分别从亮度、对比度及结构三方面度量图像的相似度，即
t L(I,K)=(2u(I)u(K)+C1)/(u(I)2+u(K)2+CJ C(/,X)=(2d(/)d(K)+C2)/(</(/)2+</(X)2+C2) ls(/,K)=(d(/,K)+C^/(d(I)d(K)+C3)
(12)则图像结构相似度为
M ssim(Z,X)=[£(/,X)"]x[C(Z,X)4]x[S(7,X)c]
(13)式中:u(n,u(K)为图像均值;</(/),</(X)为图像方差；</(/,X)为图像/和K的协方差G=(&x£)2；C2= (K2x£)2；C3=C2/2；L=255«1；X2«1；为计算方
56电光与控制第27卷
便，令a=b=c=l o
为得到更好的效果，对图像求局部图像结构相似
度。选取T t xT2的对称高斯加权函数作为加权窗口，
然后遍历图像，得到由局部SSIM指数组成的映射矩阵,
最后选取平均SSIM(MSSIM)指数作为评价指标
M m M,K)=壽$o(14) 4实验与结果
以Wikipedia下载的航天飞机上的SIR-C/X-SAR 雷达拍摄的一张合成孔径雷达图像(SAR图像)为测试样本，该图像显示的是泰德火山，像素为640x388x3o 通过编程分别得到R,G,B3张二维灰度图像，再利用函数将原始图像像素转换为320x200，然后进行低秩近似分析，通过对比结构相似度及峰值信噪比来研究所拍摄图像的低秩近似效果。
在研究结构相似度的相关实验中，以SAR图像的灰度图像为研究样本，对比传统二阶矩阵与将传统矩阵中的每个元素通过选取3邻域扩展形成的三阶广义矩阵、选取3x3邻域使其成为四阶广义矩阵以及选取3x3x3邻域使其成为五阶广义矩阵的结构相似度，来比较传统矩阵与广义矩阵的低秩近似性能。以G通道
Approximation rank
图1平均结构相似度和广义矩阵阶数的对比关系Fig.1Relationship between MSSIM and tensorial matrix order 由图1可知，随着广义矩阵阶数的扩展，图像的MSSIM指数越来越大，但是到达一定阶数时会存在一定的局限，无法用肉眼看出差距，此时用MSSIM不能很好地表征图像的质量，所以考虑另
一种方式，如PSNR。以3张320x200像素的灰度图像为研究样本，分别进行7个实验。实验1是针对传统二阶矩阵；实验2是将传统矩阵元素通过选取3邻域使其成为三阶广义矩阵；实验3是将传统矩阵通过选取3x3邻域使其成为四阶广义矩阵；以此类推，最高选取到六阶t-scalar,BP3x3x3x3x3x3，也叫八阶广义矩阵，如实验7。实验结果如图2所zK。
(a)R通道图像
(b)G通道图像
(c)B通道图像
图2R,G,B通道图像的低秩近似结果分析
Fig.2Analysis of low-rank approximation results
for R,G,B channel images
图2是radar图像的TSVD和SVD低秩近似比较。左列是3个通道的灰图像，右列是传统二阶图像(零阶t-scalar)和一阶、二阶至六阶t-scalar图像TSVD低秩近似的PSNR曲线。以G通道为例进行比较，其PSNR 和广义矩阵阶数的对比结果如表1所示。
表1G通道的低秩近似的PSNR值
Table1PSNR of low-rank approximation of G channel dB
由表1可知，零阶和一阶t-scalar相差约17dB,6阶比五阶t-scalar高近6dB，和零阶t-scalar相差40dB0
1060110160190 010.7018.2425.6837.6572.17
120.6631.1440.7753.9690.69
高尔基和他的儿子教学设计
221.5535.6048.3965.57101.07
321.8236.9250.1767.81103.87
422.113&8752.4971.76111.38
522.1238.力52.8673.01114.04
621.9438.7954.0779.04124.61
邓演达简介与生平5时间复杂度分析
由于数组元素的不断扩展，矩阵阶数不断提升，会在一定程度上增加数据处理的计算时间与复杂度，且与图像的数组信息成正比关系。本文实验对象是合成孔径雷达图像，以B通道为例，其扩展后得到的广义矩阵信息的时间复杂度如图3所示
。
第12期杨洁等：广义奇异值分解的高阶图像低秩近似方法57
two-order-tscalar without Fourier computational time
with blue channel
图3四阶广义矩阵的时间复杂度图
Fig.3Time complexity diagram of fourth-order tensorial matrix 6结束语
为了证明所采用的广义矩阵在高阶图像分析方面的优越性，本文主要介绍了部分广义矩阵算法的定义、广义矩阵的形成，然后以合成孔径雷达图像为测试样本对传统奇异值分解和本文提出的广义奇异值分解进行实验分析与比较。实验数据表明，在广义标量为二阶时所获得图像的MSSIM值与峰值信噪比要远大于传统的奇异值分解所获得的结果，且随着广义标量维度的扩展，所获得图像的MSSIM值和峰值信噪比呈线性增长，即图像的MSSIM值和峰值信噪比的值与t-scalar阶数成正比关系。
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