㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０９Ｇ２９;㊀[修改日期]２０１９Ｇ０１Ｇ０５㊀[基金项目]北京科技大学青年骨干教师培养计划(２３０２０１７J X G G R C Ｇ００４)
；线性代数研究型教学示范课(K C ２０１８Y J X ０８)；公共数学课程 分层次多模块 教学研究与实践(J G ２０１６Z ０５)
㊀[作者简介]张丽静(１９７３－)，女，博士，副教授，从事应用数学的研究．E m a i l :z h a n g l i j ＠u s t b ．e d u ．c n 第３５卷第２期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３５,ɴ．２２０１９年４月C O L L E G E MA T H E MA T I C S A p
张丽静,㊀刘白羽,㊀申亚男(北京科技大学数理学院，北京１０００８３
)㊀㊀[摘㊀要]矩阵的对角化是线性代数课程的重要内容之一，针对本科生教学，在考虑学生知识储备和理解力的基础上，依据学以致用的思想，利用特征值㊁特征向量及实对称矩阵对角化的理论知识，构造了一个图像 压缩存储的应用案例．旨在加深学生对矩阵特征值和特征向量及对角化理论的理解，同时本案例也给出了更一般的扩展讨论．[关键词]实对称矩阵；特征值；特征向量；图像压缩存储[中图分类号]O １５
脉冲变压器１．２６㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０２Ｇ０１１６Ｇ０６
１㊀引㊀㊀言
线性代数是高等学校理工科学生的重要必修课之一，也是大部分专业课程必备的数学基础课程．但线性代数课程对于大多数学生而言是比较枯燥乏味的，究其主要原因，其一是由于课程自身具有理论性
强和较为抽象的特点[１]，其二是对于低年级同学的知识储备而言，教师不容易给出生动又贴近实际的应用案例，学生看不到本课程到底有何用途?这就致使学生失去学习的兴趣．而一个生动的案例，则可
在抽象概念与实际应用之间建立起沟通的桥梁[２]．在线性代数的教学中如何理解特征值㊁特征向量以及实对称矩阵对角化对学生来说是一个难点，抽
象的定理使大多数学生学习时仅能记忆求解过程，而不能很好的理解其内涵及其用途．为了让学生能更
透彻地理解此部分内容，将选择与生活贴近的图像处理方面的实例 图像压缩存储作为出发点，同时
考虑到低年级学生的知识储备和理解力，设计一个仅使用 实对称矩阵分解基本定理 就可实现的图像
足球黑哨
压缩实例．以激发学生的学习兴趣，引导学生去主动思考，从而帮助学生深入理解此部分内容．此外，奇异值分解理论可应用于更为一般的情形，也给出了简要的介绍．
２㊀预备知识
２．１㊀计算机系统中的图像及其存储[３
]
２．１．１㊀计算机系统中的图像计算机系统中，未经压缩的图像是以像素为单位存储的．对与设备无关的位图(D e v i c e I n d e p e n d e n t B i t m a p ,D I B )文件来说，每一个像素的颜信息使用三个无符号整数分别表示红(R )㊁绿(G )和蓝(B )的强度，这一数值又称为像素点的R G B 颜数值(图１)．从代数的角度看，一幅由m ˑn 个像素点构成的图像就对应着三个m ˑn 颜矩阵．特别地，黑白图像采用灰度图的方式存储，图像上每一个像素点只对应一个由无符号整数表示的灰度值(图２)，此时一幅图像就对应着一个m ˑn 灰度矩阵．
２．１．２㊀计算机系统中图像的存储计算机系统中，包含了图像信息的图像文件与其他类型文件的存储方式是相同的，均以字节(８个
二进制位)作为最小的存储单位存储于外部存储设备，如磁盘㊁光盘㊁U 盘等．图像文件的大小通常使
用B (字节)㊁K B (千字节)㊁M B (兆字节)㊁G B (吉字节)等表示,１K B ＝１０２４B ＝２１０B ,１M B ＝１０２４K B ＝２２０B ,１G B ＝１０２４M B ＝２３０B 等．㊀㊀㊀图１㊀一幅彩D I B 图像以及其R G B 颜数值图２㊀一幅灰度D I B 图像及其灰度矩阵㊀
３㊀案例设计
３．１㊀基本内容
本案例主要是针对矩阵特征值㊁特征向量及实对称矩阵分解定理的教学内容给出的，旨在通过实例来提高学生兴趣，加深定理的理解．作为扩展内容，还介绍了更为一般的矩阵奇异值分解定理．
定理１[４]㊀设A 为n 阶实对称矩阵，则存在一个正交矩阵P ＝p １,p ２, ,p n ()，使得A ＝P ΛP T ．(１)其中Λ为对角元素是A 的特征值λ１,λ２, ,λn 所构成的对角阵;p １,p ２, ,p n 为特征值λ１,λ２, ,λn 对应的单位特征向量．式(１
)还可以写成如下的形式:A n ＝P ΛP T ＝λ１p １p T １＋λ２p ２p T ２＋ ＋λn p n p T n ＝ðn i ＝１λi p i p T i ．(２
)更为一般地，设A 是秩为r 的m ˑn 实矩阵,
容易证明A T A 必是秩为r 的实对称矩阵且有r 个非零的特征根．若令λ１, ,λn 是A T A 的特征值,v １, ,v n 是对应的特征向量且构成ℝn 的单位正交基，则对１ɤi ɤn ，有v i ２＝(A v i )T A v i ＝v T i A T A v i ＝λi v T i v i ＝λi ȡ
０．即A T A 的所有特征值均非负，称σi ＝λi 为A 的奇异值．由此，对秩为r 的m ˑn 实矩阵A 不妨设λ１ȡλ２ȡ ȡλr ＞０＝λr ＋１＝ ＝λn ，并有如下的定理．定理２[５]㊀设A 是秩为r 的m ˑn 矩阵，则存在一个m ˑm 的正交矩阵U 和一个n ˑn 的正交矩阵V ，使得A ＝U ΣV T ,(３
)其中Σ为形如D O O O æèçöø÷m ˑn 的矩阵,D 是一r ˑr 的对角矩阵且对角元素是A 的前r 个奇异值σ１ȡσ２ȡ ȡσr ＞０，矩阵V ＝(v １, ,v n )的列向量为对应于矩阵A T A 特征值的特征向量，矩阵U ＝(u １, ,u m )的前r 个列向量定义为u i ＝１σi A v i ，其余列向量为将u １,u ２, ,u r 扩充成ℝm 的单位正交基u １, ,u m 得到的．７
１１第２期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀张丽静，等：实对称矩阵对角化教学的应用案例
式(３)也可以写为A ＝U ΣV T ＝σ１u １v T １＋ ＋σr u r v T r ．(４)容易看出，定理１为定理２的特例，故定理２比定理１有着更为广泛的应用．作为讲授实对称矩阵
正交分解的教学内容而言，授课用例将围绕定理１进行设计．而定理２中给出的方法，则可作为扩展方法，引导学生进行深入思考．
３．２㊀问题提出
是否可以利用本节课的知识将手机存储的图像进行压缩，以节省存储空间?此问题结合生活中普遍存在的手机拍照存储图像引入，吸引学生注意力，充分调动学生的积极主动性．
３．３㊀问题分析及求解
指导思想：对所提出的问题进行分析，将实际问题转化为数学问题，将未知的问题向已知的问题转图３㊀关于主对角线对称的图片,
图像大小为６５８ˑ６５８像素化，引导学生尝试使用学过的知识去分析问题，进而逐步给出解决方案．
问题简化：在计算机系统中表示彩图像需要使用三个矩阵分别代
表红㊁绿和蓝三种颜，而表示灰度(黑白)图像只需使用一个矩阵．为了
简化问题，本例将灰度图像作为处理对象；针对实对称矩阵分解方法的
应用，先考虑关于主对角线对称的图片(图３)．
问题简化为：压缩存储一张关于主对角线对称的正方形灰度图片．问题分析：一个方形灰度图像对应一个n ˑn 阶灰度矩阵，记为A n ,
其每一个元素a n i j (右上角n 表示n 阶方阵,i ＝１,２, ,n ,j ＝１,２, ,n )的取值范围为０至２５５之间的整数．那么沿主对角线对称的图像(图３)对应的矩阵A n 就是一个实对称矩阵．这就转化为这节课求实对称矩阵对角化的问题(定理１)．
问题求解：按定理１，首先求出矩阵A n 的n 个特征根(
重根按重数计算)，按照绝对值从大到小的顺序排列λ１, ,λn ，即λ１ȡλ２ȡ ȡλn ．每一特征根λi 对应的单位特征向量记为p i ,i ＝１,２, ,n ．由式(２)矩阵A 可转化成多个矩阵求和的形式，且矩阵p i p
T i 中每一元素的绝对值都是小于等于１的．因此特征值λi 绝对值的大小体现了λi 对应的项λi p i p T i 在式(２)中的比例,λi 的绝对值越大,λi p i p T i 在式(２)中的比例就越大，反之则越小．这样就可以根据需要对(２)中矩阵求和进行截断，提取矩阵分解后的主要部分．
记矩阵A n 的
s 项截断为 A s ＝ðs i ＝１λi p i p T i ,㊀０＜s ɤn ．对矩阵 A s 的元素做如下处理(
因为其元素已经不一定是０至２５５之间的整数了)a s i j ＝２５５, a s i j ȡ２５５,[ a s i j ],０＜ a s i j ＜２５５,０, a s i j ɤ
０．ìîíïïïï㊀i ＝１,２, ,n ,㊀j ＝１,２, ,n ，其中 a s i j 为 A s 中的第i 行第j 列元素，函数 []为四舍五入取整函数．经转化后的元素a s i j 的取值就在０到２５５之间，组成的矩阵A s 就对应着一个灰度矩阵,
可以描绘截断后的图像．图４给出了灰度矩阵A ６５８对应的前２,１０,５０及１００项截断灰度图A ２,A １０,A ５０及A １００．容易看出A １００
刷镀液(前１００项截断求和)已经是A ６５８的比较清晰的近似．图４㊀(a )A ６５８,㊀(b )A ２,㊀(c )A １０,㊀(d )A ５０,㊀(e )A １００
８
１１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷
存储空间：容易计算，存储一个大小为n ˑn 像素点的正方形灰度图像所需占用的存储空间约为
s b m p ＝n ２B ；若采用保存图像的m 个特征值及相应特征向量的方法存储图像，所需存储空间约为
句柄
s e i g ＝４ˑm ˑ(n ＋１)B ．本例中存储图像A ６５８约需存储空间s b m p ʈ４２３K B ；若令m ＝１００(前１００项截断)，则A １００所需的存储空间数量约为s e i g ʈ２５８K B ，达到了图像压缩存储的目的．３．４㊀问题拓展
由于本节课的主要目的是讲解实对称矩阵的分解定理１的应用，故选择关于主对角线对称的方形
灰度D I B 图像作为示例,
而非对称的方形图像㊁非方形的图像以及彩图像的处理方法，可使用更为一般的奇异值分解理论，作为拓展问题留给学生通过查阅相关资料在课后完成讨论．这样不仅从深度和广度上扩充了学习的过程，开阔了学生的视野和思维，还可以培养学生深入思考和初步解决问题的科研能力．(i )非对称方形灰度D I B 图像若图像本身不是关于主对角线对称的，可以考虑如下两个方法对图像进行处理．
方法一：将图像分解为对称图像的组合．如图５所示，先将图像按主对角线分为两个部分，再将每个
部分分别转换为关于自身对角线对称的图像．在经过了这样的变换后，两个图像可以分别使用实对称矩阵的对角化方法进行处理，但此时需存储两个图像对应的特征值和特征向量．图５㊀一般非对称方形灰度D I B 图像可分解为两个对称图像的组合㊀方法二：使用奇异值分解．利用定理２，可直接计算图像对应矩阵的转置与该矩阵的乘积，然后将结果矩阵进行奇异值分解，并采取类似方法一中的做法，
保留绝对值较大的奇异值及其对应的正交矩阵列的向量即可．对比方法一与方法二，容易看出方法二更具有一般性，且有可能获得更高的压缩率．但由于奇异值分解技术依赖于定理２的结论，而实际线性代数课程的教学过程中，该部分内容一般作为选修内容，由学生自主学习或教师根据教学大纲进行选择性讲解，故文中设计的教学案例(对称或非对称)图形将会被尽可能转化为对称图形，然后再进行处理
．图６㊀非方形但关于图中虚线
部分对称的图像
(i i )非方形灰度D I B 图像
对非方形但关于图中虚线(对应于非正方形矩阵的对角
线)部分对称的图像(图６)，可使用定理２中给出的奇异值分
解理论．此部分可引导学生自主完成．(i i i )非方形也非对称灰度D I B 图像
对于非方形也非对称的图像(图７(a ))，可将其转化为一个对称方形(图７(b ))和一个长方形图像(图７(c ))，分别构造可用于矩阵分解的灰度矩阵(图７(d ))和(图７(e ))，最后即可９
１１第２期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀张丽静，等：实对称矩阵对角化教学的应用案例
山西省物理学会
０２１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷计算其对应的灰度矩阵的奇异值分解并存储相关的数据．
图７㊀非方形也非对称D I B图像处理流程的示意图
(i v)一般的彩D I B图像
若图形为彩D I B图像(图８)，则可将图像对应的红㊁绿和蓝颜矩阵分别采用上述灰度图像中给出的方法进行处理．图８给出了处理一般彩D I B图像时的流程示意图．
图８㊀一般彩D I B图像处理流程示意图
４㊀结㊀㊀论
碳化硼本文利用特征值㊁特征向量及实对称矩阵分解定理的知识，将表示图像颜信息的矩阵转化为特征值及相应的特征向量乘积之和．在保证图像质量降低较小的前提下，通过保存部分特征值和特征向量的
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