第38卷第4期2020年11月
江苏师范大学学报(自然科学版)
Journal of Jiangsu Normal University(Natural Science Edition)
Vol38，No4
Nov，2020
文章编号：2095-4298(2020)04-0046-02
王兆权，纪维强，杜守旭
〔青岛滨海学院文理基础学院，山东 青岛266555)
摘要：利用共轭映射的定义研究了在映射上的反作用.作为应用，给出了Cauchy定理的一个证明.
关键词：共轭映射；反同态；反作用；Cauchy定理
中图分类号：O1521文献标识码：A doi：103969/j issn2095-4298202004011
Research on the group acting on set with function conjugation
Wang Zhaoquan,Ji Weiqiang,Du Shouxu
(School of Arts&Sciences,Qingdao Binhai University,Qingdao266555,Shandong,China)
Abstract：Bythedefinitionoffunctionconjugation，thegroupinverseactionisresearched Astheirapplication，the Cauchytheoremisproved
Keywords：functionconjugation；anti-homomorphism；groupinverseaction；Cauchytheorem
0引言
众所周知，论方法是以作用为基础的.因此，掌握论的证明方法和技巧，必须深刻理解作用.本文给出共轭映射的概念，并研究在映射上的反作用，得到了反稳定子、反轨道等概念.作为应用，给出了Cauchy定理的一个新的证明. 设G,K为，用Map(G,K)表示G到K上的映射集合,Hom(G,K)表示G到K上的同态集合，I Hom(G,K)|表
示G到K的同态个数，Hom n S GK)表示G到K上的反同态集合，I H o m an U(G,K)|表示G到K的反同态个数，(|G|,|K|)表示G I与|K|的最大公因子.其他记号参见文献[1—3].文中所涉及的都是有限的，所有映射都满足将单位元映到单位元上.
1基本定义及引理
定义1设G,K为，仁G7是映射,aEG，定义新映射f：G*K，其中
f(狓)=(f(a))T f(a),V狓G G,
称犳为犳在a下的共轭映射.
定义2[]设G,K为，仁GfK是映射，若犳满足
f(xy')=f(y)f(x),V x,y G G，则称f是G到K上的反同态.
定义3[一6]设G,K为,S MapGK)表示集合Map(G,K)的置换，如果存在一个反同态
*:G S M ap G, K>,
则称G反作用在集合MapG,K)上.
定义4[7]设G,K为，且G在集合Map(G,K)上有反作用，/GMap(G,K)，令
Stab(,f)={a G G|f=f}W G,
称Stab(f)为元素f的反稳定子；记O f= f|aG G}，称O f是G的包含f的反轨道.
引理1[]设G,K为，且G在集合Map(G,K)上有反作用，/GMap(G,K)，则
1)|O f|=|G：Sab(f)|；
2)轨道方程为|Mp(G,K)|=艺|O f|,
f G MpGK
其中O f跑遍集合Map(G,K)的一切不相交的反轨道.
引理2[]设f£”7是映射犆为n阶循环，则|Hom(.C n,G)|=0mod(n,|G|).
引理3设fC n fG是映射,C n为n阶循环，则|H o m ant(C”G)|=0mod(n,|G|).
2主要结果
定理1设G为p,K为有限，若p整除|K|,0|H o m an U(G,K)|〉1，即Map(G,K)中至少
收稿日期：2020-08-13
基金项目：青岛滨海学院教学改革研究项目(2020JY11)
作者简介：王兆权，男，助教，硕士，主要从事论方面的研究，E-mail：
第4期王兆权，等：用共轭映射来研究作用47
存在一个非平凡反同态.
证令n={f\f：G^K为映射，且犳(1)=1}.
分3步完成定理的证明.
断言1设fW Q,a,WG，则f为反同态，当且仅当f a=f.
若f为反同态，则f(.xa)=f(..a')f(x).又f a(狓) =(,f(a))^1f(xa)，故f"(狓)=f(狓).由x的任意性可知，犳=f.
反之，对于任意x G G,—方面，由题设知f狓) =f(x)；另一方面,f a(x)=(f(a))-1f(xa).于是，f(.xa)=f(a)f(x)，所以f是反同态.
断言2G反作用在集合0上.
令
0:G S n:00:G K,
a_-O":f_-f":x_-f a(x)=(,f(.a))7f(xa).设fE0,aEG，则由定义1知，犳是G到K的映射，而且f(1)=(f(a))T f(1a)=1，故f-E0.因此O为映射.
任取hE0，且映射f^h.假设f-=h a，根据定义1，对于任意xEG，有
(f(a))-1f(x a)=f a(x)=h a(x)=(h(a))-1h(x a)，故f=h，矛盾.所以，假设f a=h-不成立，从而f a H h a，即0为单射.
下证0为满射.事实上，令aE0,aEG，易得a G0，且满足(a“)0a=(.a1)a=a，于是0为满射，从而0为映射.
任取a,b,xEG，因为
=((f(a))T f(ba))T
•((.f(.a))^1f(xba))
=(f(ba))7f(狓ba)
=f b(x),
即(f a)"=严，从而00b=0b，因此0为反同态.故断言2成立.
断言3记号如上,f为反同态，当且仅当\O f =1.
因为\O f\=1，所以f\a G G}={f}，即对于任意a G G，都有f a=f.因此，由断言1得f是反同态.
反之，如果f是反同态，那么由断言1知，对于任意a G G，都有f a=f，即\a G G}=f}.故\O f\=1.
由断言3可知，反同态集合Hom anii(G,K)中的任意元素都是轨道长度为1的反轨道，从而，引理1中的轨道方程变为
\0\=\H O m anu(G,K)\+艺\O f\,\O f\〉1.(1)
f G0
由引理1知，\O f\=\G：Sab(f)\，故丨O f丨整除\G\.注意到G为p，于是，狆整除\O f \.另一方面，由题设知，狆整除丨K\，且|0|=\K\\g\t，所以p 整除\0\.进一步，由方程(1)知，素数p整除\Hom，
a nli(.G,K)\，即丨H o m ant(G,K)\=0或kp，而\Hm an U(G,K)\中含有平凡反同态，故\Hom，a nli(.G,K)\=kp.因此,\H o m ant(G,K)\>1.
定理2设G为有限，p为素数，如果p整除\G\，则G中含有p阶元.
证设仁C p Y是映射，且f(1)=1，其中C p 为p阶循环，则由引理3知
\Hom anli(C p,G)\=0mod(p,\G\).
又因p整除丨G\，故\H o m anu(C p,G)\=0mod p.注意到p是素数，所以p>2.因此,\Hom n S C p G) >2.由定理1知,Hom.at(Cp,G)中含有非平凡反同态，记为了，设f(x)=g，其中x G C p,1H g G G，则犵=ff(x))p=f(x p)=f(1)=1.
因此，G中含有p阶元.
参考文献：
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