一、外接球
1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为则此球的表面积． 2. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______． 3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球表面积为________．
4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为，则它的体积为___________ 5. 表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )
A.π B.π C.π D.π
6. 三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B．4π
C．8π D．20π
7. 若三棱锥SABC的所有的顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝，则球O的表面积为________．
8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( )
A.π B.π
C．2π D．4π
9. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
10. 已知A，B，C是球O的球面上三点，AB＝2，AC＝2，∠ABC＝60°，且三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为________．
11. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B.
C. D.
12. 已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
13. 四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝，AD＝BC＝2，则四面体ABCD的外接球的体积是________．
14. 正四棱锥的底面边长与各侧棱长都为，点、、、、都在同一球面上，则该球的体积为_______．
15. 已知表面积为4π的球有一内接四棱锥，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA⊥平面ABCD，则四棱锥SABCD的体积为________．
16. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π
C．144π D．256π
17. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，则球的表面积和体积的比为______．
18. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．
二、内切球
1. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
3. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．
4. 若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________． 6. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
8. 设圆锥的底面半径为，高为，求：
（1）内接正方体的棱长；
（2）内切球的表面积．
参考答案
几何体的外接球和内切球
一、外接球
1. 略
2. 略
3. 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
则 解得
∴外接球半径为＝，∴外接球表面积为4π×2＝9π.
4. 略
5. 如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a.
∵正四面体的表面积为，∴4×a2＝，解得a＝，∴正方体的棱长是，
又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，∴2R＝×，∴R＝，
∴球的体积为π·3＝π，故选A.
6. 解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
7. 解析：由题意，得三棱锥SABC是长方体的一部分(如图所示)，
所以球O是该长方体的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，设球的半径为R，则2R＝＝＝2，所以球O的表面积为4πR2＝20π.
答案：20π
8. 解析：选A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积V＝πR3＝π.
9. 解析：
如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
10. 解析：∵AB＝2，AC＝2，∠ABC＝60°，∴在△ABC中，由正弦定理，得＝，解得sin C＝，又0°<C<120°，∴C＝30°，∴A＝90°，BC＝＝4，∵A，B，C是球O的球面上三点，∴△ABC外接圆的圆心为BC的中点，故△ABC外接圆的半径为2.设球心O到平面ABC的距离为d，∵三棱锥OABC的体积为，∴××2×2×d＝，∴d＝2，∴球O的半径R＝＝2，∴球O的表面积为4πR2＝48π.
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