3.2 Panel Data单位根和协整分析最新进展 目前，在Panel Data分析的理论和应用研究中，单位根和协整理论与应用是最热点。这里，我们将着重就此展开讨论。 近年来，有关专家对Panel Data的单位根和协整理论进行了大量的研究。该领域开创性研究工作可以追溯到Levin和Lin（1992，1993）及Quah（1994）。Panel Data的单位根和协整理论是对时间序列的单位根和协整理论研究的继续和发展，它综合了时间序列和横截面的特性，通过加入横截面能够更加直接、更加精确地推断单位根和协整的存在，尤其是在时间序列不长、可能获得类似国家、地区、企业等单位截面数据的情况下，Panel Data单位根和协整的应用更有价值。
在早期时间序列单位根过程的渐近理论研究中，Phillips（1987）、Engle和Granger（1987）发现，许多感兴趣的估计量和统计量被证明其极限分布是维纳过程的复杂函数。与之恰恰相反，在非平稳的Panel Data渐近过程中，Levin和Lin很早就发现这些估计量的极限分布是高斯分布，这些结果也被应用在有异方差的Panel Data中。Panel Data极限行为由于受到时间和单位的影响，因此在研究Panel Data极限分布时需要发展和使用多变量Panel函数
中心极限定理， Phillipa和Moon（1999a）给出了在非平稳Panel Data 中线性回归极限理论，他们指出：Panel Data极限行为仅仅依赖于单位数N 和时间长度T趋于无穷的方式。例如一种是固定N ，让T 趋于∞，接着N趋于∞，他们用（N,T趋于∞）seq表示；另一种是T=T(N),表示T的大小受N 控制，N 趋于∞， T（N）趋于∞，记为（T(n),n趋于∞）；第三种是T、N分别趋于∞，没有相互约束，记为（N，T趋于∞）。这三种方式极限分别称为序贯、对角和联合极限。文章主要涉及序贯极限理论和联合极限理论研究，认为序贯极限在寻求极限行为快速渐近性上是有益的。尽管在一些更强条件下，联合极限理论是很难得到并加以应用，但幸运的是，在我们所面临的T 很大、N适中的情况中，联合极限理论研究和应用并没有多大困难。
3.2.1 单位根
有关Panel Data单位根研究的主要成果见Levin和Lin（1992，1993）、Quah（1994）、Im等（1997）、Maddala和Wu（1999）、Phillips和Moon（1999）的文献。
（1）Levin和Lin方法（LL检验）（1992,1993） Levin和Lin（1992）得到单位根模型如下：
这里，模型既包括时间趋势，也包括个体和时间特殊效应，并且序列自相关，用一个滞后的一阶差分作ADF检验。Levin和Lin原假设H0:ρi=0对所有i，备择假设H1: ρi<0对所有i ，Levin和Lin考虑了以下几种模型的情况。在每种情况下，极限分布均是按照N 趋于∞和T趋于∞，而且在每一种情况下，方程估计都是作为联合回归模型，用OLS来估计，这些模型如下：
在模型6中，截矩和时间趋势都有个体效应。在该模型的实际应用中，主要研究集中在对购买力评价PPP单位根检验上。Oh（1996）使用模型1和5，Wu使用模型5，但增加通过自己模拟计算精确有限样本的判别值，它比Levin和Lin（1992）制作表格中的判别数要高5-15%。Levin和Lin指出与时间序列单位根检验统计量的标准分布不同，Panel Data统计检验是极限正态分布，并且，当T趋于∞比N 趋于∞时收敛速度更快。
Levin和Lin（1993）提出了一些新的Panel Data单位根检验，这些检验考虑了误差过程存在着自相关性和异方差情况，他们的作法是:首先从数据中减去截面平均数以消除集合效应；然后使用ADF检验每个个体序列并标准化分布。
以模型5为例，ADF回归为：
就等于执行两个分别以为因变量方程，（5）中其余变量为自变量的辅助回归，这两个辅助回归残差分别为和，现作回归方程：
就得到，就等到于（5）式中直接用OLS估计，既然这里存在着异方差，他们建议用接下来的标准化来控制它：
对于每个i而言，是渐近i,i,d
接着估计每个个体序列长期标准差与短期标准差的比率，并计算平均比率：
这里长期方差用以下公式来估计：
表示滞后截断参数，是一些滞后窗口。
最后计算Panel Data统计检验，这时考虑如下的回归方程：
对所有i，t ，t统计量的结果为：
这里：
和在个体ADF回归方程作为平均滞后长度使用，
既然统计检验量的中心并非为0，Levin和Lin建议用如下调整后的t统计量:：
这里， Levin和Lin通过蒙特卡洛模拟和计算而得到调整后的均值和标准差，这些调整项从一个给定的回归模型得到，从50到250，从9到20，N是250。Levin和Lin的中心定理证明，当，ADF滞后阶数以速度增加，当，以速度增长，这时在原假设H0：下，有：
在备择假设中，将以速度趋于负无穷。
总之，在Levin和Lin文章中，几乎包括值得继续讨论的所有要点：
（a）通过对渐近正态实证分析，使上述（3），（4）中的式子能获得更适合修正形式；
（b）当N,T 趋于∞时的收敛速度如何；
（c）同质对异质的问题，在Levin和Lin的公式中，对每个i 是同质；
（d）对横截面单位来说，互相独立的假设如何放宽；
（e）对存在依赖和异方差误差过程和内生回归量的结果进行如修正；
后来在Panel Data单位根的更广泛工作主要从以上5个方面展开。
2、Im、Pesaran和Shin（IPS检验）（1997）
在LL检验中原假设和备择假设为：
备择假设对于某些情况下，要求显得太严一些，放弃原假设，并不意味就不存在有些单位的趋于0。后来Im、Pesaran 和Shin（1997）放松了LL检验H1的条件，也就是针对刚谈到的要点（c）进行拓展，这是首先要提到Pesaran和Smith（1996）的文章。在文章中，他们证明在动态异质Panel Data模型使用联合或集合数据所得到估计量是不一致的，建议使用组平均估计量。这些结论成为Im等人IPS检验的基础，Im等人对Levin和Lin的模型形式进行小的修改，得到模型形式如下：
原假设和备择假设改为：
是序列自相关，形式见（16），不同单位其有不同序列相关。
Im等到人借助Pesaran和Smith（1995）的结论，提出使用组平均LM统计量来检验（15）。ADF回归方程估计如下：
并且定义：
这里是单位的LM统计量，目标是检验，标准化 LM统计量是：
和是 使用T，Pi不同值重复50000次随机模拟而计算出来，可以证明在H0：，对所有i有：
当 T，N 趋于∞，并且N/T趋于K，K是一个正的有限常数。当在备择假设条件，检验是一致，同时它也要就。在这个更松的假设条件下，在备择假设下，以速度趋于正无穷。
Im等到人（1997）也使用组平均统计量：
这里：
是个体单位对检验的统计量i=1,2,…,N，和在文中被计算，的渐近结果也支持，当N 、T趋于无穷，且有N/T 趋于K，一致性也是有保证的。
3.2.2 协整的检验
在Panel Data中关于协整的检验迄今为止，主要有两个方向，一个是原假设为非协整，
使用类似Engle和Granger（1987）平稳回归方程，从Panel Data中得到残差构造统计检验，计算其分布，这一类问题解决可以从Pedroni（1995，1997a，1997）文章中到答案，Kao（1999）同样也有类似相关的分析；一个是原假设为协整，基本的检验可能参照McCoskey和Kao（1998a）的文章，这也是基于残差的检验，类似时间序列中Harris和Inder（1994）、Shin（1994）、Leybourne和Mclabe（1994）和Kwiatouski等人（1992）分析框架，无论是哪一种方法，都使用序贯极限方式，即前面提到的（N,T趋于∞）seq方式。
1、Pedroni 方法
Pedroni的协整方法利用协整方程（23）的残差：
在这里，Panel公式中允许存在很大的差异，因为在模型中，单位之间的斜系数、固定效应系数和个体确定趋势系数是不同的。
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