1
)(+=∗
s K s G 试用解析法绘出∗
K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：
有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。根轨迹如图中红线所示。 （－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数
)
12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 系统开环传递函数为)
2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：
(1) )
15.0)(12.0()(++=
s s s K s G 解： 系统开环传递函数为)
2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s K s g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：
05
1211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d
根轨迹如图中红线所示。
（2） )
12()1()(++=
s s s K s G 解： 系统开环传递函数为)
5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G
有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：
1
15.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d
根轨迹如图中红线所示。
(3) )
3)(2()5()(*+++=s s s s K s G 解： 系统开环传递函数为)
3)(2()5()(*+++=s s s s K s G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－2＋ｊ０），有一个零点（－5＋ｊ０）。 分离点坐标计算如下：
5
131211+=++++d d d d 解方程的，015251023=+++d d d 5171.61−=d
5964.22−=d d
，
8865.03−=d 8865.0−pi θ取分离点为
=根轨迹如图中红线所示。
4-5 已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略画出相应的闭环根轨迹图(要求算出起始角)：
（１） )
21)(21()2()(j s j s s K s G −++++=∗ 解：
系统开环传递函数为)
21)(21()2()21)(21()2()(j s j s s K j s j s s K s g −+++G +−++++=∗ 有两个极点：（-1＋ｊ2）
，=1p =2p （－1-ｊ2），有一个零点（－2，ｊ０）。 起始角：
L ,2,1,0)12()(11±±=
−++=∑∑≠==k k n i j j p p m j p z p i i i j i θϕπθ 0000135904518012111
=−+=−+=p p p z p θϕπθ 00002259045180
21212=+−=−+=p p p z p θϕπθ 根轨迹如图中红线所示。
（２） )
1010)(1010()20()(j s j s s s K s G −++++=∗。 解： 系统开环传递函数为)
1010)(1010()20()(j s j s s s K s −++++=∗G 有三个极点：p （0，
j0），p （-10＋ｊ10），=1=2=3p （－10-ｊ10），有一个零点（－20，ｊ０）。
=1z 起始角：
L ,2,1,0)12()(11±±=
−++=∑∑≠==k k n i j j p p m j p z p i i i j i θϕπθ 01801
=p θ 000000090135451801802
321212=−−+=−−+=p p p p p z p θθϕθ 000000090135451801803
231313=++−=−−+=p p p p p z p θθϕθ 根轨迹如图中红线所示。
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
(1) 确定 )
10)(1()(++=∗
s s s K s G 产生纯虚根的开环增益值。 解：系统特征方程为
01011*
23=+++K s s s 令ωj s =代入特征方程中得：
实部方程为：
0112*=−ωK 虚部方程为：10 03=−ωω
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