误差反馈抗饱和静态补偿控制器及补偿器的确定方法

技术领域

本发明涉及一种补偿控制器及补偿器的确定方法，具体是一种误差反馈抗饱和静 态补偿控制器及补偿器的确定方法，用于控制工程领域。

背景技术

统一框架理论客观上统一了以前的各种线性时不变Anti-windup and bumpless transfer(AWBT)框架。AWBT具有多种不同的框架，但由于它们没有普适性，所以它们 本身以及在它们基础上发展出的各种技术也不具有普适性，Kothare提出统一框架， 将各种LTI AWBT框架统一为该框架内两个参数矩阵的不同，在此基础上发展出的饱和 问题综合分析方法也可以囊括以前框架的成就。传统的稳定性分析方法主要有：圆盘 定理，离线圆盘定理，多变量圆盘定理等，但它们无一例外都只能代表各自研究领域 的最高成就，而无法涵盖其它框架的研究成果。

经对现有技术的公开文献检索发现，Mulder E F，Kothare M V，and Morari M 在《Automatica》(2001，vol.37(01)：1407-1416)上发表的文章“Multivariable anti-windup controller synthesis using linear matrix inequalities”(运用线 性矩阵不等式来处理多变量抗饱和控制器综合问题，《自动控制》)，Kothare等人提 出了综合多回路圆盘定理，将稳定性问题转化为线性矩阵不等式问题，它具有简易的 优点，并有着较好的普适性，但这种普适性也不是绝对的，例如在处理普通的输出反 馈控制问题时，该方法就无法有效地将其转化为凸集优化问题。

传统的性能优化方法有很多，L2增益定理是比较重要的一种，它是基于统一框 架提出的，这种方法能将性能优化问题化为线性矩阵不等式问题，这种方法同样有计 算量小的优点，且其普适性也不是绝对的。在改善系统的工作性能时，必须要以牺牲 其稳定性能为代价，这是现有技术的严重不足。

发明内容

本发明地目的在于克服现有技术中存在的不足，提供一种误差反馈抗饱和静态补 偿控制器及补偿器的确定方法，使其在对原有AWBT统一框架进行改进的基础上，重新 运用稳定性和性能优化方法进行AWBT综合问题的分析，除了具有计算量小，普适性 高等特点外，还能同时兼顾系统的稳定性和工作性能。

本发明是通过以下技术方案实现的，本发明对现有的误差反馈补偿统一框架进行
改进，引入误差反馈补偿器补偿器Λ₃，此基础上，首先运用统一框架的方法确定控
制器 和对象P(s)的结构参数；然后在保证能得到更好的工作性能的同时，将稳
定性优化问题转化为凸集优化问题，从而确定改进前的两个反馈补偿器Λ_1，2的结构参
数；通过对另一个补偿器Λ₃的调节，改善系统的输出响应，同时确定补偿器Λ₃的结
构，包括三个部分：

(1)建构线性时不变系统

要对一个实际系统进行分析，首先必须对系统进行建模，精确地用系统框图来代
替实际系统。本发明采用的统一框架是基于“两步法”的控制策略形成的。首先在忽略
非线性作用的条件下，把实际系统建构为线性时不变(LTI)系统，然后再考虑非线性
作用，以现有的最简便的方法确定新的控制器参数

(2)系统的稳定性和工作性能优化

稳定性和工作性能是任何控制问题都必须考虑的基本问题。本发明巧妙地在使工 作性能得到进一步优化的同时，将稳定性优化问题转化为线性矩阵不等式优化问题， 得到稳定性问题的优化解，该优化解最终将被用来确定原框架内两个补偿器Λ1，2的结 构参数。

(3)改善系统的响应

除了稳定性和工作性能之外，输出响应也是设计任何系统最值得关注的问题，本 发明通过对误差反馈补偿器Λ3的手动调节，很好地改善了系统的输出响应。

以下对本发明的方法作进一步的描述，具体内容如下：

1、建构线性时不变系统

首先，在不考虑饱和作用时确定线性系统的执行器和控制器的结构参数，这些参
数一般是通过数学建模的方法确定的。然后根据得到的控制器结构参数K(s)，确定
在有饱和作用条件下的新的控制器 的结构参数，其中，

为了进一步分析的需要，将 转化为状态空间形式：

$\stackrel{·}{x}=\mathrm{Ax}+(B_v-B_{\xi }\Lambda )v+B_{w}w$

        u＝Cux+(Duv-DuξΛ)v+Duww

        z＝Czx+(Dzv-DzξΛ)v+Dzww

其中A，Bv，Bξ，Bw等是反馈/前馈互连系统的原始参数的函数。w表示从周 围环境进入系统的所有输入信号，包括干扰，传感器噪音等；z表示系统所有的受控 输出信号，例如跟踪误差，设计控制器的目的就是尽可能地将z保持为较小的值。

2、系统的稳定性和工作性能优化

在误差反馈补偿器Λ3不发生作用时(即Λ3＝0)，运用稳定性优化方法和上L2增益 性能优化法，同时对系统的稳定性和工作性能进行优化，并确定两个补偿器Λ1和Λ2 的结构参数。假设从输入w到受控输出z的L2范数为：

$\underset{{\left|\right|w\left|\right|}_2\ne 0}{\sup }\frac{{\left|\right|{\gamma }^{1/2}z\left|\right|}_2}{{\left|\right|w\left|\right|}_2}\le \sqrt{\Gamma }---\left(1\right)$

通过最小化这个L₂范数(即确定 )，确定系统的性能优化指标，在这个性能优
化指标的基础上，再对系统进行稳定性优化。稳定性优化问题最终将被转化为线性矩
阵不等式，不过得到的解只是局部优化解。

问题归结为是否存在矩阵 $M=\mathrm{diag}(M_1,M_2,K,M_{n_u})$ 使下列线性矩阵不等式成 立，并且在满足M＞0，δ1＝δ-1＞0，Q＝P-1＞0和Г＞0的同时，使Г为最小

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{QA}}^T+\mathrm{AQ}& B_w& B_{v}M-B_{\xi }X+{\mathrm{QC}}_u^T& {\mathrm{QC}}_z^T& 0\\ B_w^T& -\Gamma & D_{\mathrm{uw}}^T& D_{\mathrm{zw}}^T& 0\\ {\mathrm{MB}}_v^T-X^T{B}_{\xi }^T+C_{u}Q& D_{\mathrm{uw}}& l& {\mathrm{MD}}_{\mathrm{zv}}^T-X^T{D}_{\mathrm{z\xi }}^T& M\\ C_{z}Q& D_{\mathrm{zw}}& D_{\mathrm{zw}}M-D_{\mathrm{z\xi }}X& -{\gamma }^{-1}& 0\\ 0& 0& M& 0& -{\delta }_{1}I\end{array}\right]<0---\left(2\right)$

其中： $l=-2M+D_{\mathrm{uv}}M+{\mathrm{MD}}_{\mathrm{uv}}^T-D_{\mathrm{u\xi }}X-X^T{D}_{\mathrm{u\xi }}^T.$

通过公式(2)的可行解M和X，确定补偿器Λ1和Λ2的增益矩阵Λ＝XM-1。

本发明又可以通过对权重因子γ(γ为对角实矩阵，代表每路输出的重要性。例
如，如果各路输出是同等重要的，则γ＝I)的选择，对系统的性能指标进行手动调节(即
通过公式(1)确定 的最小值)，这样，一些比较重要的输出信号的性能将得到重点
优化。

3、改善系统的响应

本发明引入的误差反馈补偿器将作用于跟踪误差信号z，最终将影响输出信号。 本发明通过手动调节Λ3的增益矩阵的方法，很好地改善了系统的输出响应。

总而言之，本发明由于采用了技术上非常成熟的两步法，使系统的抗饱和问题可 以在一个较为简单的框架内得到解决。不仅可靠地解决了系统的稳定性和性能优化问 题，还通过引入误差反馈补偿器，进一步改善了系统的输出响应。经验证，使用本发 明方法可处理一系列饱和问题，为使用者构造一个稳定且性能优良的系统，并一定程 度地延长控制系统执行机构的使用寿命。

附图说明

图1改进的误差反馈统一框架示意图

图2本发明实施例四水罐装置等效框图

具体实施方式

如图1所示，结合本发明的内容给出以下实施例：

将本发明的方法用于下述框架的综合设计(包括稳定性优化和性能优化)，并同时 确定三个静态补偿器的结构参数。

1、建构线性时不变系统

如图2所示，四水罐实验装置是由四个互相连接的水罐，两个水泵和多个阀门组 成的。装置的输入信号是水泵的输入电压幅值(v)，V1和V2；装置的输出信号是相应底 部的两个水罐的水位高度的电位(v)，Y1和Y2。其中，流入每个水罐的水流量是由相关 阀门控制的。

设通过对某个系统进行数学建模得到

$P\left(s\right)=\left[\begin{array}{cc}\frac{0.794}{(29.37s+1)}& \frac{0.454}{(33.91s+1)(29.37s+1)}\\ \frac{0.305}{(33.91s+1)(29.37s+1)}& \frac{0.610}{(33.91s+1)}\end{array}\right]$

控制器的数学模型选用(已解耦)：

$\left[\begin{array}{c}{u}_1\left(s\right)\\ u_2\left(s\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}20+\frac{4}{s}+s& 0\\ 0& 20+\frac{4}{s}+s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\left(s\right)-y_1^{*}\\ y_2\left(s\right)-y_2^{*}\end{array}\right]$

由于阀门不可能无限制地开大，所以阀门开启程度受限使这个实际问题变成了饱
和问题。假定此系统的初始输入设定点为 <math> <mrow> <mfenced open='[' close=']'> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>1</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> <mo>*</mo> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open='[' close=']'> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>12</mn> </mtd> <mtd> <mn>10</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow> </math> 阀门受限问题表现在执
行器的输出电位受限，使 <math> <mrow> <mover> <mi>u</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>&le;</mo> <mn>50</mn> <mo>.</mo> </mrow> </math> 在这里，只要按本发明的方法就可以方便地得到
和 了。假设z＝e且w＝r，把上述系统的传递函数 和 转化为状态空间
形式，即可得到各个矩阵的结构参数。

2、系统的稳定性和工作性能优化

假设Λ₃＝0，假设γ＝I，代入公式(1)，得到性能指标 将第一步得到的各项
回路参数代入式(2)，求出LMI问题的可行解X和M，从而确定Λ_1，2的结构参数。

得到 ${\Lambda }_1=\left[\begin{array}{cc}59.4804& -59.4275\\ -9.9421& 10.9903\\ -67.0548& 86.0632\\ 12.6603& -15.5621\end{array}\right],$ ${\Lambda }_2=\left[\begin{array}{cc}93.4235& -84.16\\ -96.1038& 124.9112\end{array}\right]$

3、改善系统的响应

为了进一步改善系统的响应，对系统控制器的误差输入进行补偿，即手动调节Λ3 的值。实际证明：当设定 ${\Lambda }_3=\left[\begin{array}{cc}-0.3& 0\\ 0& -0.3\end{array}\right]$ 时，系统的输出响应会有很大改善。即 加上所提出的抗饱和静态补偿控制器及补偿器后系统的超调进一步减小，同时响应的 快速性有所提高，稳定时间减小。