基于半定规划的贝尔对角态的量子导向

本发明涉及的量子导向有助于推进量子通信的发展。由于导向性的范围因投影测 量算符不同而不同，其过程并未涉及到其他投影测量算符下的研究(n＝4，6，8，10)，本发明 主要是基于半定规划的贝尔对角态的量子导向，通过选择多面体构建多测量算符，首次将 半定规划方法应用于贝尔对角态在其他投影测量算符下的导向性，通过编写程序计算解决 贝尔对角态基于其他投影测量算符下的导向性问题。最终本发明以列表的形式采用SDP方 法不断修正改善扩大了贝尔对角态基于其他投影测量算符下的导向的范围。

量子密码通信和量子计算的实现依赖于具备各种通信能力的节点和以微粒子为 载体的量子，设备无关协议假设通信双方都是不可信任的，标准的纠缠检测协议则假设通 信双方都是可信任的，介于设备无关协议和标准的纠缠检测协议之间的不可信情况下的量 子非局域性，通常称为EPR Steering[1]即量子导向。在一般两组分情况下，量子导向意味 着一方可使用可信任的测量设备，而另一方可以使用不可信任测量设备，实际上量子导向 可以看作为设备半无关协议，它比设备无关协议对实验设备的要求有所放松，其中假设条 件比标准的纠缠检测协议的少，相比而言更符合实际情况。因此在最近几年量子导向的研 究[4]及其应用和试验验证[5]在量子密钥分布协议(QKD)、安全通信等得到了快速发展。

量子导向是薛定谔在1935年根据EPR佯缪提出的[1]，指出的是一个观察者进行的 测量能到改变远方另一个观察者的量子态。相比于纠缠和贝尔非局域性，导向的的特点是 基本不对称的，因为观察双方在导向实验中是角不同[1-3]。在2007年Wiseman、Jones、 Doherty等[1]严格将量子导向定义为违反他们称之为局域隐态(LHS)的模型，通过投影测 量证明量子导向态是纠缠态的严格子集，同时是贝尔非局域态的严格超集，而贝尔非局域 态是指违反局域隐变量(LHV)的描述。同时他们指出在两组分情况下贝尔非局域性、量子导 向、量子纠缠三种非局域性分别是基于对双方都不信任、一方可信任、双方都可信任时所显 示出的纠缠，在POVM测量下关于这三种量子非局域之间的互不等价性已经得到证明。与EPR 和薛定谔最初的情形不同的是局域隐态给出了严格的架构，将量子导向建立在坚实的基础 之上，导出一系列关于量子导向存在的准则。虽然量子导向这种新形式的非局域性研究比 较少，但其具有深远的实际意义同时涉及到深刻的物理基础，在最近几年成为发展迅速的 新兴研究领域。目前实验已经验证了量子导向，为量子信息的安全通信性提供了足够的保 证。

量子导向准则是最早由Reid对连续变量系统利用测不准关系得到的[6]，Jevtic 等人使用量子导向椭球提出一系列研究量子非局域性的新概念，如内接正四面体可分离条 件、胖度、不完全量子导向等[7]。在量子导向椭球方法中用Bloch表象几何直观地先生非局 域性，有利于任意双量子比特系统非局域性的研究。用量子导向椭球方法研究双量子比特 系统，通过构造局域隐态得到了贝尔对角态量子导向的必要条件，与充分条件之间的空隙 已比较小[8]。

在量子导向的量化方面，Skrzypczyk、Navascues、Cavalcanti提出使用半定规划 方法[9]用量子导向重要概念进行量化。本发明将主要采用半定规划方法研究贝尔对角态 的量子导向问题，在验证投影算符的基础下下，利用半定规划定性研究贝尔对角态的导向。

本发明主要是基于半定规划的贝尔对角态的量子导向，应用于双量子比特系统中 贝尔对角态在投影测量下完成的，这些态无论在理论上还是在实验室都具有相对简单的结 构，一般的双量子比特系统态可以通过可逆转的SLOCC[10] 转化成贝尔对角态，所以说任 何关于贝尔对角态的进展潜在的帮助我们理解双量子比特系统。

参考文献

[1]Wiseman H M，Jones S J，Doherty A C.Steering，entanglement， nonlocality，and the Einstein-Podolsky-Rosen paradox.[J].Physical Review Letters，2007，98(98)：4055-4055.

[2]Jones S J，Wiseman H M，Doherty A C.Entanglement，Einstein-Podolsky- Rosen correlations，Bell nonlocality，and steering[J].Physical Review A，2007，76 (5)：400-403.

[3]Qiongyi He.One-way EPR steering and genuine multipartite EPR steering[J].Proceedings of SPIE-The International Society for Optical Engineering，2012，8554：-.

[4]Branciard C，Cavalcanti E G，Walborn S P，et al.One-sided device- independent quantum key distribution：Security，feasibility，and the connection with steering[J].Physical Review A Atomic Molecular & Optical Physics，2012，85 (1)：281-289.

[5]Saunders D J，Jones S J，Wiseman H M，et al.Experimental EPR-steering using Bell-local states[J].Nature Physics，2011，7(11)：918-918.

[6]M.D.Reid，Demonstration of Einstein-Podolsky-Rosen paradox using nondegenarate parametric amplification，Phys.Rev.A40，4277(1989).

[7]Sania J，Matthew P，David J，et al.Quantum steering ellipsoids.[J] .Physical Review Letters，2013，113(2)：020402-020402.

[8]Jevtic S，Hall M J W，Anderson M R，et al.Einstein-Podolsky-Rosen steering and the steering ellipsoid[J].Journal of the Optical Society of America B，2014，32(4)：A40-A49.

[9]Paul S，Miguel N，Daniel C.Quantifying Einstein-Podolsky-Rosen steering.[J].Physical Review Letters，2014，112(18)：180404-180404.

[10]Verstraete F，Dehaene J，Demoor B.Local filtering operations on two qubits[J]. Phys.rev.a，2000，64(1)：289-293.

本发明主要是基于半定规划的贝尔对角态的量子导向，通过选择多面体构建多测 量算符，首次利用半定规划方法(SDP)方法通过编写程序计算解决贝尔对角态基于其他投 影测量算符下的导向性问题。最终本发明以列表的形式采用SDP方法不断修正改善扩大了 贝尔对角态基于其他投影测量算符下的导向的范围，共包括以下三个过程：

S1)投影测量算符的构建：对于单比特量子态的投影测量，当变量是Z时其本征值
为+1和-1，相应的特征向量为|0>和|1>，例如当量子态是当测量结果是
+1时，其概率为反之，当测量结果为-1时，其概率为1/2。一般的，当V是
任意的三维实向量，其测量结果根据Bloch球体的定义可以表示为v·σ≡v₁σ₁+v₂σ₂+v₃σ₃，
σ₁，σ₂，σ₃是Pauli算子，根据不同的投影测量算符取得多面体上相应的点后利用
|a|²+|b|²＝1，解之，即可得到相应的投影测量算符，本发明中此步骤尤为
重要，若取点的方式及过程不正确，直接影响导向范围的变化。

S2)半定规划方法应用于Werner态下三投影测量算符下的导向性：量子导向主要
设计到双方的通信，以Alice和Bob，共享纠缠态通过测量Alice的子系统，Bob在一定
的范围采用一定的方式可以得到其测量结果σ_a|x，半定规划方法是解决凸优化问题的工具，
基本的优化问题遵循以下规则，本发明结合求导向权重的给定条件进行在约束条件
及下使最大化，其中λ是Alice所拥有的任意
变量，D_λ(a|x)是Alice 单方的条件概率分布，σ_λ是Bob所拥有的态。本发明以Werner态的三投
影测量算符为实例，其状态可表示为其中
是单比特量子态，I是密度矩阵算子。

1)三投影测量算符的选择：本发明根据八面体为主，采用非对称的三个点坐标，根 据vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影测量算符，而对于其他投影测量算符(n＝4，6，8， 10)时所对应选择的多面体方案分别是：n＝4，立方体；n＝6，正二十面体；n＝8，正二十面体 的非对称的6个点和正十二面体的2个点；n＝10，正十二面体；按照投影测量算符，选择相应 的非对称的点的坐标即可得到所对应的投影测量算符。

2)三投影测量算符所构成矩阵的部分转置：X，Y，Z算符在满足本征值为+1或-1的条
件下，共存在6种算符测量的情况，分别为：X₊₁，X_-1，Y₊₁，Y_-1，Z₊₁，Z_-1具体投影测量算符为X₊₁＝|0
>，X_-1＝|1>，
程序验证的时需要对投影测量算符构成的矩阵进行部分转置矩阵，可以得到非标准化后
Bob的在ρ态下的测量结果，其结果代表投影测量算符的偏迹为：

则Alice所拥有的任意变量为λn＝[xi，yj，zk]≡[，，]。

3)半定规划方法获得导向权重：在获得Alice测量所得到的测量结果，依据Alice 的单方条件分布可以得到其概率分布集合为：

根据半定规划方法的条件可到
不可导向的集合拆分后可得

利用半定规划函数包SW＝sdpvar(n，1)，n为计算循环的次数；根据
再判断导权重是否大于0即可判断导向的范围。

以Werner态下三投影测量算符的导向性为例，通过半定规划方法所得结果与早期 实验结果相比较，得出结果半定规划方法的结果与早期实验结果一致，证明了半定规划方 法的可行性。

S3)其他投影测量算符下的贝尔对角态的导向范围

在验证了Werner态在三投影测量算符下的导向可证明本发明在双量子比特系统 求取导向的范围是正取可取的，由于双量子比特系统中贝尔对角态，这部分的成果主要是 在投影测量下完成的，这些态无论在理论上还是在实验上都具有相对简单的结构，一般的 双量子比特系统态可以通过可逆转的SLOCC转化成贝尔对角态，所以说任何关于贝尔对角 态的进展潜在的帮助我们理解双量子比特系统。

通过改善约化后，双量子比特系统贝尔对角态的表达方式如下：

其中σ_j是当j＝1，2，3时的Pauli算子，σ是Pauli算
子相应的向量，T(t_ij)是相关矩阵。

贝尔对角态含有3个参数，呈现正四面体，其中存在可分离态和导向态根据其投影 测量算符的不一致，导向范围因此有所差异，由于这种差异性结构，本发明对贝尔对角态通 过截取代表贝尔对角态的正四面体获取截面，设置p，q从而确定与贝尔对角态中参数t1的 关系，进而按照获得导向的步骤得到导向范围，在投影测量算符不同的情况下得到导向范 围。

图1是基于半定规划的贝尔对角态在多测量算符下的导向结果图。

下面结合实施例对本发明的技术方案做进一步描述。

1、技术支持

本发明以列表的形式采用SDP方法不断修正改善扩大了贝尔对角态基于其他投影 测量算符下的导向的范围，共包括以下三个过程：

S1)投影测量算符的构建：对于单比特量子态的投影测量，当变量是Z时其本征值
为+1和-1，相应的特征向量为|0>和|1>，例如当量子态是当测量结果是
+1时，其概率为反之，当测量结果为-1时，其概率为1/2。一般的，当V是
任意的三维实向量，其测量结果根据Bloch球体的定义可以表示为v·σ≡v₁σ₁+v₂σ₂+v₃σ₃，
σ₁，σ₂，σ₃是Pauli算子，根据不同的投影测量算符取得多面体上相应的点后利用
|a|²+|b|²＝1，解之，即可得到相应的投影测量算符，本发明中此步骤尤为
重要，若取点的方式及过程不正确，直接影响导向范围的变化。

S2)半定规划方法应用于Werner态下三投影测量算符下的导向性：量子导向主要
设计到双方的通信，以Alice和Bob，共享纠缠态通过测量Alice的子系统，Bob在一定
的范围采用一定的方式可以得到其测量结果σ_a|x，半定规划方法是解决凸优化问题的工具，
基本的优化问题遵循以下规则，本发明结合求导向权重的给定条件进行在约束条件
及下使最大化，其中λ是Alice所拥有的任
意变量，D_λ(a|x)是Alice单方的条件概率分布，σ_λ是Bob所拥有的态。本发明以Werner态
的三投影测量算符为实例，其状态可表示为其中
是单比特量子态，I是密度矩阵算子。

1)三投影测量算符的选择：本发明根据八面体为主，采用非对称的三个点坐标，根 据vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影测量算符，而对于其他投影测量算符(n＝4，6，8， 10)时所对应选择的多面体方案分别是：n＝4，立方体；n＝6，正二十面体；n＝8，正二十面体 的非对称的6个点和正十二面体的2个点；n＝10，正十二面体；按照投影测量算符，选择相应 的非对称的点的坐标即可得到所对应的投影测量算符。

2)三投影测量算符所构成矩阵的部分转置：X，Y，Z算符在满足本征值为+1或-1的
条件下，共存在6种算符测量的情况，分别为：X₊₁，X_-1，Y₊₁，Y_-1，Z₊₁，Z_-1具体投影测量算符为X₊₁
＝|0>，X_-1＝|1>，
程序验证的时需要对投影测量算符构成的矩阵进行部分转置矩阵，可以得到非标准化后
Bob的在ρ态下的测量结果，其结果代表投影测量算符的偏迹为：

则Alice所
拥有的任意变量为λ_n＝[x_i，y_j，z_k]≡[<x_i|X|x_i>，<x_i|Y|x_i>，<x_i|Z|x_i>]。

3)半定规划方法获得导向权重：在获得Alice测量所得到的测量结果，依据Alice 的单方条件分布可以得到其概率分布集合为：

根据半定规划方法的条件可到
不可导向的集合拆分后可得

利用半定规划函数包SW＝sdpvar(n，1)，n为计算循环的次数，根据
再判断导权重是否大于0即可判断导向的范围。

以Werner态下三投影测量算符的导向性为例，通过半定规划方法所得结果与早期 实验结果相比较，得出结果半定规划方法的结果与早期实验结果一致，证明了半定规划方 法的可行性。

S3)其他投影测量算符下的贝尔对角态的导向范围

在验证了Werner态在三投影测量算符下的导向可证明本发明在双量子比特系统 求取导向的范围是正取可取的，由于双量子比特系统中贝尔对角态，这部分的成果主要是 在投影测量下完成的，这些态无论在理论上还是在实验上都具有相对简单的结构，一般的 双量子比特系统态可以通过可逆转的SLOCC转化成贝尔对角态，所以说任何关于贝尔对角 态的进展潜在的帮助我们理解双量子比特系统。

通过改善约化后，双量子比特系统贝尔对角态的表达方式如下：

其中σ_j是当j＝1，2，3时的Pauli算子，σ是Pauli算
子相应的向量，T(t_ij)是相关矩阵；

贝尔对角态含有3个参数，呈现正四面体，其中存在可分离态和导向态根据其投影 测量算符的不一致，导向范围因此有所差异，由于这种差异性结构，本发明对贝尔对角态通 过截取代表贝尔对角态的正四面体获取截面，设置p，q从而确定与贝尔对角态中参数t1的 关系，进而按照获得导向的步骤得到导向范围，在投影测量算符不同的情况下得到导向范 围。

图示图1中贝尔对角态代表正四面体，绿的平面代表着分离态，蓝区域代表着 可在二投影测量算符下的可导向的态，红区域代表着在二投影测量算符不可导，而在三 投影测量算符下可导的结果，由于贝尔对角态的特殊性质，其在四投影测量算符下的导向 结果和三投影测量算符下的结果相同，黑区域代表在六投影测量算符下的导向结果，灰 区域代表在八投影测量算符下的导向结果，紫区域则代表在十投影测量算符下的导向 结果。

2、安全性分析

这部分根据本发明应用的不同步骤对安全性进行分析。

投影测量算符的构建：对于单比特量子态的投影测量，当变量是Z时其本征值为+1
和-1，相应的特征向量为|0>和|1>，例如当量子态是当测量结果是+1
时，其概率为反之，当测量结果为-1时，其概率为1/2。一般的，当V是任
意的三维实向量，其测量结果根据Bloch球体的定义可以表示为v·σ≡v₁σ₁+v₂σ₂+v₃σ₃，σ₁，
σ₂，σ₃是Pauli算子，根据不同的投影测量算符取得多面体上相应的点后利用
|a|²+|b|²＝1，解之，即可得到相应的投影测量算符，本发明中此步骤尤为
重要，若取点的方式及过程不正确，直接影响导向范围的变化。

半定规划方法应用于Werner态下三投影测量算符下的导向性：量子导向主要设计
到双方的通信，以Alice和Bob，共享纠缠态通过测量Alice的子系统，Bob在一定的范
围采用一定的方式可以得到其测量结果σ_a|x，半定规划方法是解决凸优化问题的工具，基本
的优化问题遵循以下规则，本发明结合求导向权重的给定条件进行在约束条件
及下使最大化，其中λ是Alice所拥有的任
意变量，D_λ(a|x)是Alice单方的条件概率分布，σ_λ是Bob所拥有的态。本发明以Werner态
的三投影测量算符为实例，其状态可表示为其中
是单比特量子态，I是密度矩阵算子。

1)三投影测量算符的选择：本发明根据八面体为主，采用非对称的三个点坐标，根 据v·σ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影测量算符，而对于其他投影测量算符(n＝4，6，8， 10)时所对应选择的多面体方案分别是：n＝4，立方体；n＝6，正二十面体；n＝8，正二十面体 的非对称的6个点和正十二面体的2个点；n＝10，正十二面体；按照投影测量算符，选择相应 的非对称的点的坐标即可得到所对应的投影测量算符。

2)三投影测量算符所构成矩阵的部分转置：X，Y，Z算符在满足本征值为+1或-1的条
件下，共存在6种算符测量的情况，分别为：X₊₁，X_-1，Y₊₁，Y_-1，Z₊₁，Z_-1具体投影测量算符为X₊₁＝
|0>，X_-1＝|1>，
程序验证的时需要对投影测量算符构成的矩阵进行部分转置矩阵，可以得到非标准化后
Bob的在ρ态下的测量结果，其结果代表投影测量算符的偏迹为：

则Alice所拥有的任意变量为λn＝[xi，yj，zk]≡[，，]。

3)半定规划方法获得导向权重：在获得Alice测量所得到的测量结果，依据Alice 的单方条件分布可以得到其概率分布集合为：

根据半定规划方法的条件可到
不可导向的集合拆分后可得

利用半定规划函数包SW＝sdpvar(n，1)，n为计算循环的次数，根据
再判断导权重是否大于0即可判断导向的范围。

以Werner态下三投影测量算符的导向性为例，通过半定规划方法所得结果与早期 实验结果相比较，得出结果半定规划方法的结果与早期实验结果一致，证明了半定规划方 法的可行性。

表1 Werner态下实验结果与半定规划方法结果的对比

其他投影测量算符下的贝尔对角态的导向范围：在验证了Werner态在三投影测量 算符下的导向可证明本发明在双量子比特系统求取导向的范围是正取可取的，由于双量子 比特系统中贝尔对角态，这部分的成果主要是在投影测量下完成的，这些态无论在理论上 还是在实验上都具有相对简单的结构，一般的双量子比特系统态可以通过可逆转的SLOCC 转化成贝尔对角态，所以说任何关于贝尔对角态的进展潜在的帮助我们理解双量子比特系 统。

通过改善约化后，双量子比特系统贝尔对角态的表达方式如下：

其中σ_j是当j＝1，2，3时的Pauli算子，σ是Pauli算
子相应的向量，T(t_ij)是相关矩阵；

贝尔对角态含有3个参数，呈现正四面体，其中存在可分离态和导向态根据其投影 测量算符的不一致，导向范围因此有所差异，由于这种差异性结构，本发明对贝尔对角态通 过截取代表贝尔对角态的正四面体获取截面，设置p，q从而确定与贝尔对角态中参数t1的 关系，进而按照获得导向的步骤得到导向范围，在投影测量算符不同的情况下得到导向范 围。

图1中贝尔对角态代表正四面体，绿的平面代表着分离态，蓝区域代表着可在 二投影测量算符下的可导向的态，红区域代表着在二投影测量算符不可导，而在三投影 测量算符下可导的结果，由于贝尔对角态的特殊性质，其在四投影测量算符下的导向结果 和三投影测量算符下的结果相同，黑区域代表在六投影测量算符下的导向结果，灰区 域代表在八投影测量算符下的导向结果，紫区域则代表在十投影测量算符下的导向结 果。

实施例：

1、半定规划解决量子导向的应用举例

量子导向主要设计到双方的通信，以Alice和Bob，共享纠缠态通过测量
Alice的子系统，Bob在一定的范围采用一定的方式可以得到其测量结果σ_a|x，半定规划方法
是解决凸优化问题的工具，基本的优化问题遵循以下规则，本发明结合求导向权重的给定
条件及使最大化，从而得到导向权重得
出导向的范围，其中λ是Alice所拥有的任意变量，D_λ(a|x)是Alice单方的条件概率分布，σ_λ
是Bob所拥有的态。本发明以Werner态的三投影测量算符为实例，其状态可表示为
其中是单比特量子态，I是密度矩阵算
子。

在投影测量算符选择时本发明根据八面体为主，采用非对称的三个点坐标，根据 vgσ≡v1σ1+v2σ2+v3σ3，得出X，Y，Z三投影测量算符，而对于其他投影测量算符(n＝4，6，8，10) 时所对应选择的多面体方案分别是：n＝4，立方体；n＝6，正二十面体；n＝8，正二十面体的 非对称的6个点和正十二面体的2个点；n＝10，正十二面体，按照投影测量算符，选择相应的 非对称的点的坐标即可得到所对应的投影测量算符。

构建三投影测量算符所构成矩阵的部分转置：X，Y，Z算符在满足本征值为+1或-1的
条件下，共存在6种算符测量的情况，分别为：X₊₁，X_-1，Y₊₁，Y_-1，Z₊₁，Z_-1具体投影测量算符为X₊₁
＝|0>，X_-1＝|1>，
进而可求的偏迹，利用半定规划可以得到Werner态下三投影测量算符下的导向范围。

利用半定规划函数包SW＝sdpvar(n，1)，n为计算循环的次数，根据
在判断导权重是否大于0即可判断导向的范围。

以Werner态下三投影测量算符的导向性为例，通过半定规划方法所得结果与早期 实验结果相比较，得出结果半定规划方法的结果与早期实验结果一致，证明了半定规划方 法的可行性。

表1 Werner态下实验结果与半定规划方法结果的对比

2、总结

综上所述，本发明基于半定规划的贝尔对角态的导向具有以下特点：

①该方法首次增强贝尔对角态基于其他投影测量算法下的导向性。

②随着构建投影测量算符的复杂性增大，半定规划方法依然可以解决贝尔对角态 基于其他投影测量算法下的导向性。

③半定规划方法的使用扩大了贝尔对角态基于其他投影测量算法下的导向范围， 相比一般的几何方法更精确。

④该方法是使用定性了贝尔对角态的导向性，推动了量子导向的量化，更有利于 量子的通信的实现。