①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用 一、必备知识整合
一、抽象函数的性质
1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =k
f x
⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：
对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；
对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题
①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；
f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；
②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；
f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；
③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有
x 1+x 2>2a ；
f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；
④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；
f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览
①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log a
k −x k +x f x =log a k +x
k −x
(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1
a x +1是奇函数
④f x =
m a x
+1
关于0,m
2 对称
⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇
二、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )
，则f (x )=f (1)
x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0
【一次函数模型】
模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；
模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ，则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ，则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】
模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=
f (x )f (y )
，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=
f 1 m
x
m
；
模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】
模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0
模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0
模型3：若f
x
y
=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0
模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +m
log a x-m a>0且≠1,x,y>0
模型5：若f
x
y
=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -m
log a x+m a>0且≠1,x,y>0
【幂函数模型】
模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1
模型2：若f
x
y
=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0
代入f a 则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】
模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0
，则f(x)=cos wx
模型2：若f(x)+f(y)=2f
x+y
2
f x-y2
f(x)不恒为0
，则f(x)=cos wx
【正切函数模型】
模型：若f(x±y)=
f(x)±f(y)
1∓f(x)f(y)
f(x)f(y)≠1
，则f(x)=tan wx
模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0
，
则f(x)=2
k
cos wx
三、复合函数
1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：y=f g x
，令：t=g x ，则y=f g x
转化为y=f t ,t=g x 其中t叫作中间变量.
g x 叫作内层函数，y=f t 叫作外层函数.
2.求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数y=f g x
分解成y=f t ,t=g x
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
y=f(g(x))在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))
增增增
增减减
减增减
二、考点分类精讲
【题型训练-刷真题】
一、单选题
3(2022·全国·高考真题)已知函数f (x )的定义域为R ， 且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1，则22
k =1
f (k )=(
)
A.-3
B.-2
C.0
D.1
4(2022·全国·高考真题)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ，且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7．若y =g (x )的图像关于直线x =2对称，g (2)=4，则22
k =1f k = (
)
A.-21
B.-22
C.-23
D.-24
二、多选题
5(2023·全国·高考真题)已知函数f x 的定义域为R ，f xy =y 2f x +x 2f y ，则( )．A.f 0 =0 B.f 1 =0
C.f x 是偶函数
D.x =0为f x 的极小值点
6(2022·全国·高考真题)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 3
2
-2x
，g (2+x )均为偶函数，则()
A.f (0)=0
B.g -1
2
=0 C.f (-1)=f (4)
D.g (-1)=g (2)
【题型训练-刷模拟】
1.抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)
一、单选题
1(23-24高三上·陕西渭南·阶段练习)已知f x 的定义域为0,2 ，则函数g x =f x 2-1 log 12 x -1
的
定义域为()
A.1,3
B.0,2
C.1,2
D.1,3
2(23-24高三下·陕西西安·阶段练习)定义域均为R 的函数f x ，g x 满足f x =g x -1 ，且
f x -1 =
g 2-x ，则(
)
A.f x 是奇函数
B.f x 是偶函数
C.g x 是奇函数
D.g x 是偶函数
3(2024·全国·模拟预测)已知不恒为零的函数f x 为定义在R上的奇函数，且函数f x-1
为偶函数，则f2024
=()
A.-1
B.0
C.1
D.2
4(2024·全国·模拟预测)已知定义在R上的函数f x 满足f x+2
=4-f x ，且f x+3
-2为奇函
数，f4 =5，则
2026
k=1f k
=()
A.4047
B.4048
C.4049
D.4050
5(2024·湖南长沙·二模)已知定义在R上的函数f x 是奇函数，对任意x∈R都有f x+1
= f1-x
，当f-3
=-2时，则f2023
等于()
A.2
B.-2
C.0
D.-4
6(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知定为域为R的函数f x 满足：f x-1
为偶函数，f x + f2-x
=0，且f-2
=1，则f2024
+f2025
=()
A.0
B.1
C.2
D.3
7(22-23高二下·浙江衢州·期末)已知函数f x 定义域为R，对∀x,y∈R，恒有f x+y
+f x-y
=2f x f y ，则下列说法错误的有()
A.f0 =1
B.f2x+1
=f-2x-1
C.f x +f0 ≥0
D.若f1 =1
2，则f x 周期为6
8(23-24高三下·山东菏泽·阶段练习)定义在R上的函数g x 满足g x =f x +2x，g x+2
为偶函数，函数f3x+1
的图象关于0,2
对称，则f27
=()
A.-46
B.4
C.-50
D.-4
9(2024·河南·三模)设函数f x 的定义域为R,y=f x-1
+1为奇函数，y=f x-2
为偶函数，若f2024
=1，则f-2
=()
A.1
B.-1
C.0
D.-3
二、填空题
10(2024·湖北武汉·二模)已知函数f2x+1
的定义域为-1,1
，则函数f1-x
的定义域为.
11(23-24高三下·安徽·阶段练习)若函数f x+2
为偶函数，y=g x+1
-5是奇函数，且f2-x
+g x =2，则f2023
=.
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