对于二次三项式,2
c bx ax ++当a ，b ，c 为整数，042>-ac b 时，人们常用“十字相乘法”分解因式．本节我们对“十字相乘法”进行推广，使之应用到四次式的因式分解中去．
43223140)(a x a x a x a x a x f ++++=
选取适当的整数c ，总可使以使cf(x)为一整系数多项式．若cf(x)有公因数d ，提取后得
)()(x dg x cf = 即 )()(x g c
d x f = 其中g(x)为一本原多项式(各项系数互素的多项式)． 例如：,5 42632)(234-++=x x x x f 取++==349010)(cf ,15x x x c 12302-x (整系数多项式) )615455(2234-++=x x x (本原多项式)，即
)615455(15
2)(234-++=x x x x f 因此有理系数f(x)的因式分解问题，总可以归结为对本原多项式的讨论．
43223140)(a x a x a x a x a x f ++++=
2120)(b x b x b x g ++=
2120)(c x c x c x ++=ϕ
其中，⋅i i i c b a ,,.均为整数．
则f(x )=g(x)·ϕ(x)的充要条件是
01101000,c b c b a c b a +==
0210202c b c b c b a ++=
22412213,c b a c b c b a =+=
且有 ))((2021043210c c c b b b a a a a a l ++++=++++
利用多项式相等，及在f(x)=g(f)·妒(f)中令f=1定理易证(证明略)．根据上述定理，对于凡能分解的一元四次多项式，可类似地用“十字相乘法”求其因式．步骤如下：
(1)计算以1)．
(2)将以l)分解为两个整数p 与g 之积，再将pq 分别拆成三个数的和，即
210210,c c c q b b b p ++=++=
由于“分解”“拆成”的方法不唯一，一般要反复视察调整直至满足定理的条件为止．在视调过程中可参考如图1所示的路线图．
(3)写出).)(()(21202120c x c x c b x b x b x f ++++=
(4)按指定数域，求)(x f 的最后分解式．
例 分解下列各式．
.31720113)()1(234++++=x x x x x f
.215
34323254)()2(234-+-+=x x x x x f .24723)()3(234+--+=x x x x x f
解,9654,5431720113)1()1(⨯==++++=f 视调后的图示如图2所示．
113251=⨯+⨯
20335211=⨯+⨯+⨯
175312=⨯+⨯
所以)153)(32()(22++++=x x x x x f (有理数域)． (2) =-+-+=215
34323254)(234x x x x x f )1517556(15
2234-+-+x x x x 设 1517556)(234-+-+=x x x x x g
428,81517556)1(⨯==-+-+=g
视调后的图示如图3所示．
5)1(342=-⨯+⨯
5334)1()5(2-=⨯+⨯-+-⨯
1734)5()1(=⨯+-⨯-
所以 )543)(32()(2
2-++-=x x x x x g )543)(32(15
2)(22-++-=x x x x x f (有理数域) ,1)4(4,424723)1()3(⨯-=--=+--+=f 视调后的图示如图4所示．
23021=⨯+⨯
73)2(20)1(1-=⨯-+⨯+-⨯
42)2()1(0-=⨯-+-⨯ 所以)1)(13)(2)(2()123)(2()(22+--+=-+-=x x x x x x x x f (实数域)．
此法也可用于四次齐式分解．
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