第1课时
1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．
2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类． 3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．
教学重点：理解复数的必要性，明白复数及其相关概念，掌握复数的几种类．
教学难点：复数的分类及相关概念的辨析．
PPT课件．
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容. 预设的答案：（1）本章将要研究复数.（2）复数，一方面是解决人类生活生产实际问题的需要，另一方面也是解决数学自身发展所遇到矛盾的需要.（3）起点是“数”的认识过程，目标是通过研究复数，明确复数的概念，了解复数的运用.
设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、问题导入
问题2：类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？ 师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．
【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似=－1的方程有解？
师生活动：引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i 2 1；
（2）实数与i可以进行加法和乘法运算：
实数a与数i相加记为：a+i
实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0• i =0
实数a与 bi相加记为：a+bi
引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的概念.（板书：复数的概念）
【新知探究】
1．分析实例，感知复数的概念，逐步分析出实数与 i 的四则运算．
问题3：规定i的平方等于，即，称i为虚数单位．
（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？
（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？
预设的答案：（1）；（2）
追问：这些还表示实数吗？如何定义复数集，复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）
预设的答案： 全体复数组成的集合叫做复数集，记作C，记作
，其中 i 为虚数单位，a实部； b虚部．复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立．
设计意图：感知复数的概念，分析出实数与 i 的四则运算
2.在大量实例感知的基础上，总结出复数的概念．
问题4：下列数，分别有什么特点？
预设的答案：的实部是3，虚部是2；－2的实部是－2，虚部是0；的实部是0，虚部是6.
追问：根据实数a和b的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？
师生活动：当且仅当 时，Z=a+bi表示实数；
当 时，Z=a+bi叫做虚数；
特别的，当 时，Z=a+bi叫做纯虚数．
预设的答案： 即：
设计意图：培养学生分析和归纳的能力.
问题5：两个实数可以相等，两个复数可以相等吗？
师生活动：两个复数，如果实部与虚部都对应相等，我们就说着两个复数相等，记作．
追问：两个复数可以比较大小吗？
预设的答案：两个复数当且仅当都是实数时，可以比较大小．
设计意图：进一步理解复数的概念
【巩固练习】
例1. (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.
(3)下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设的答案：(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以
①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2 i，所以②为假命题；
对于③，2 i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题
(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式．
因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
设计意图：通过类比理解复数的表示方法，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
例2. 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．
①z为实数？ ②z为虚数？ ③z为纯虚数？
师生活动：依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．
预设的答案：①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
设计意图：通过例题，进一步明确复数的分类，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
例3. (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1) i，求实数x，y的值；
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
师生活动：根据复数相等的充要条件求解．
预设的答案：(1)由复数相等的充要条件，得解得
(2)设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i．
所以解得或
所以实数a的值为a＝11或－.
设计意图：根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现，提高学生的数学抽象、数学运算及逻辑推理的核心素养．
【课堂小结】
问题：1．复数的概念是什么，如何分类的？
2. 如何运用两复数相等的充要条件？
3. 两个复数能比较大小的充要条件是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．
设计意图：通过梳理本节课的内容，体会虚数引入的必要性，并让学生类比理解复数的表示方法，让学生经历虚数产生及复数表示过程，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养．
布置作业：
【目标检测】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． ( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． ( )
设计意图：巩固复数的概念．
2．设i为虚数单位，若，a，，则( )
A． B． C． D．
设计意图：巩固运用复数相等的充要条件．
3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1) i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个复数不能比较大小．
其中错误命题的序号是__________．
设计意图：巩固纯虚数的概念．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9) i＜0，则实数m＝________.
设计意图：巩固运用复数的分类．
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
设计意图：巩固运用复数的分类．
参考答案：
1． (1)× (2)√ (3)× (4)√
2． B【详解】由，a，，得，，则.故选：B.
3． ①②③ 当a＝－1时，(a＋1) i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2) i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这 一特殊情况，故③错．
4．－3 ∵z＜0，∴，∴m＝－3.
5．由m 2＋5 m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m 2－2 m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m 2－2 m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m=－3.
(2)当m 2－2 m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
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