-------以人教版初中数学教材和美国Prentice Hall 教材为例
程丽
摘 要 纵观近、现代数学的发展可知，函数是描述运动、变化的基本概念。数学中许多概念或由函数派生，或可归之为函数观点研究。可以说函数概念的产生，本身就标志着数学思想方法的重大转折--由常量数学到变量数学。函数的应用，更使得数学的面貌，从对象到理论、方法、结构，发生了根本的变化。基于这些原因，就中学数学而言，函数的重要性是不容置疑的，它己经成为中学数学中的纽带，但同时它又是学生最难理解的内容之一。本文对中美初中数学教材中“函数”模块的内容进行了比较研究。 关键词 中美；初中数学；教材比较； 函数
一、研究的问题
目前，人们对教科书的认识已由“教”的材料向“学”的材料转变，这也就意味着，教科书的编
写不仅要考虑到教师的“教”，更主要的还要考虑到学生的“学”[1]。近年来学术界对教科书的研究也正处在逐步的深入当中，其中有纵向上的对我国历届教科书的比较研究，也有与国外发达国家教科书进行的横向比较分析。从横向比较来说，虽然已有一些与美国教育比较的研究成果，但是这些比较研究大都是针对中美教育思想与制度差别的整体宏观比较，而针对中学阶段的中美两国的教科书的比较研究还相对较少[2]。因此，在我国的国际教科书比较领域内，本研究具有一定的理论价值。
本研究立足于中美初中数学教育发展的历史渊源与现状，主要选取在中美两国具有代表性的初中数学教科书“人教版”和“Prentice Hall”中“函数”的课程内容进行比较研究，对中美初中数学教科书的编写进行了系统而全面的分析。
本文采取比较法和内容分析法。深入到微观层面对中美教科书编写方式进行对比分析，精心选择初中数学“函数”作为典型案例式，对两个版本教材的共性和差异性进行了详细讨论。
二、中美初中数学“函数”课程容量的比较
课程容量是一个比较宽泛的概念。知识、技能的量、活动经验的积累、思想方法的获得、
学生参与操作（思考）的量、情感、态度和价值观的发展等都属于课程容量的范畴。它是教科书文本质量的重要指标。而狭义的课程容量就是指教科书所含知识的容量。知识的容量是表征课程容量的一个重要的量度。本文也主要是从教材的知识容量方面，对两国初中教材的课程容量进行了比较。
表 1.1 两国初中“函数”课程容量的对比表
人教版 | Prentice Hall |
1. 变量与函数 2. 一次函数 3. 用函数观点看方程（组）与不等式 4. 反比例函数 5. 实际问题与反比例函数 6. 二次函数及其图像 7. 用函数观点看一元二次方程 8. 实际问题与二次函数 | 1. 数列 2. 将结果与图像联系 3. 函数 4. 斜率 5. 画一次函数 6. 写出一次函数的性质 7. 反比例函数与二次函数 |
| |
从表1.1可以看出两国教材的课程容量的既有共性，又有各自的特点。
我们可以看到人教版函数的内容主要包括以下几个方面：一是为研究函数及其图象做准备工作的必要的基础知识，即平面直角坐标系；二是从常量、变量的基本概念出发学习函数的概念；三是几类初等函数(正比例、反比例、一次、二次函数的定义、图象及性质）前两部分内容是本章中奠定基础的知识，主要通过平面直角坐标系中平面上的点与一对有序实数间的一一对应关系，理解函数的定义。第三部分是主要研究内容，包括学习几种具体函数的定义以及它们的图象，结合图象研究掌握它们的各种性质，通过对这些具体函数的学习，帮助学生进一步理解函数概念，为以后学习其它各类初等函数打下良好的基础。而Prentice Hall将几类初等函数(正比例、反比例、一次、二次函数的定义、图象及性质）放在一章节进行学习，数列与斜率是学习函数的准备知识，而平面直角坐标系是其准备工具。对于概念的学习也是从常量与变量出发，从而建构出一次函数的定义与图像，重点提出一次函数的性质的学习。
两国初中“函数”课程容量的相同点与差异如下表：
表 1.2 两国初中“函数”课程容量的分析表
相同点 | 1.通过分析点的特征导出函数 2.掌握一次函数的图像与性质 3.认识反比例函数与二次函数 |
不同点 | 人教版有 Prentice Hall没有 | 1.用函数的观点看方程与不等式 |
人教版没有 Prentice Hall有 | 1.认识数列 2.通过斜率描叙一次函数图象 |
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从初中课程容量的比较来看，Prentice Hall数学教材“函数”部分的知识容量大于人教版教材，教材的内容也要多于我国，而且知识的编排顺序也有所不同。
人教版将函数、方程与不等式紧密联系一起，无论是一次函数还是二次函数都有与之对应的方程与不等式，并且在高中呈现的形式亦是如此。这种编排模式很好展现了我国人教版的特征和优点，既有深度又有宽度。Prentice Hall只是纯粹的讲函数，但以数列和斜率作为知识的上位知识，即是将函数与数列和斜率联系起来，主要是从函数图像的特点出发。将数列表达在直角坐标系中所呈现的图形与斜率有密切的关系，于是出一次函数的图像，并加以定义。但两国都注重发展学生的空间思想和提升学生的逻辑思维能力。
（一）例题的表层比较分析
根据前面的研究，我们得知美国教材中有11个知识点，中国教材中约9个知识点，与美国教材中知识点的数量很接近。中美两国初中函数部分的例题数量统计如下：
图 1 例题数量
从上图我们可以看到中美两国初中数学教材中函数部分例题数量分别是 26 道和27道。其数量上的差异不是很明显。从知识点的数量来看，两国教材配置的例题的数量差异也不是很明显，美国教材的知识点与例题的数量比约为1：2.4，中国教材约为1：2.8。这反映出中美两国教材在例题的设置上不追求量的多少，旨在将新知识点用精炼、典型的例题加以例说。一个知识点到底配备多少例题是一个相对来说较为复杂的问题。知识点的重要程度、难度以及与前面和后面的知识点的联系等都是影响其配备例题数量的重要因素。无论
如何，考虑到例题在教材中的地位和作用，其数量必然是在充分展示和例说知识点的同时尽量的少，其质量必然是精而又精的。正如有研究指出的“为了学习解决某类数学问题不应只提供一个样例，也不应为每个不同的问题变式都提供一个样例，原则是提供尽量少的样例，但这些样例应包括问题所有变式中变量的变化情。
美国教材中的习题包括“问题（Questions）”、“自测题（Self-Test）”以及“章末复习题（Chapter Review）”；人版教材中的习题包括“练习”和“习题”以及“复习题”[3]。
现代心理学的相关研究指出，学生掌握一个知识点需要练习 20道同种类型的习题，若低于此练习量，学生不易掌握该知识点，但大于该练习量则很有可能增加学生的学习负担。所以，想要发挥习题的教育功能，既需要量的保证，又不能一味的机械训练[4]。然而，“大运动量训练”的“题海战术”给师生带来的是不堪承受的负担，逐渐暴露其教学效果低下、压制学生的积极性和创造性的弊病。所以，数学习题的训练要适度。关键是要让习题起到巩固知识、技能，培养学生能力的作用。中美教材设置的习题在数量上有何差异？设置多少习题才能真正发挥习题的功能是个值得探讨的问题。
在进行习题数量的统计时，美国教材中的“问题”和中国教材中的“练习”和“习题”统一称为“练习题”[5]。美国教材中的“自测题”和“章末复习题”以及中国教材中的“复习题”统一称为“复习题”。以下为中美两国初中数学教材“函数”部分的习题数量的统计图表：
图2习题数量
美国教材共7节的内容，练习题数量为256个，平均每节练习题数量约为37个，复习题共57个。习题总量为313个。中国教材中是9节内容，练习题共 146个，平均每节约有练习题 16
个；复习题共34个，习题总量为180个。从图中，我们可以清晰的看出美国教材中无论是练习题还是复习题，其数量远超过中国教材中练习题和复习题的数量。出现这种情况的原因是多方面的。美国教材中的练习题，即“问题（Questions）”中有一部分“复习题（Review）”。设置的这部分习题不仅回顾与本节课相关内容的习题，还包括本章之前的课节或是其他章节，甚至是以前课程内容的习题。中国教材中很少出现这种习题。另外，美国教材中专门设置了“自我检测（Self-Test）”，用来检验学生的学习效果[6]。
参考文献
[1] 吴立宝，王富英，秦华. 数学教科书例题功能的分析[J]. 数学通报，2013，52（3）：18~23.
[2] 王小明. 样例学习研究及其课改意蕴[J]. 基础教育，2011，8（2）：78~83.
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