[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为:,,,其中长度以计,角度以计,时间以计。设刚体质量为,对于通过质心且垂直于图平面的惯性半径,求时刚体对坐标原点的动量矩。 解:
,是轴正向的单位向量。
[习题11-2] 半径为,重为的均质圆盘固结在长,重为的均质水平直杆的端,绕铅垂轴以角速度旋转,求系统对转轴的动量矩。 解:
[习题11-3] 已知均质圆盘质量为,半径为,当它作图示四种运动时,对固定点的动量矩分别为多大?图中。
解:
因为圆盘作平动,所以
解:
其中,质心C的动量为0
解:
解:
因为圆盘作平面运动,所以:
[习题11-4] 均质直杆长为,质量为,、两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求该杆对质心和对固定点的动量矩和(表示为和的函数)。
解:(1) 求
(逆时针,转向如图所示)
(2)求
[习题11-5] 均质杆长、重,端刚连一重的小球(小球可视为质点),杆上点连一刚度系数为的弹簧,使杆在水平位置保持平衡。设给小球一微小初位移后无初速释放,试求杆的运动规律。 解:以杆为研究对象,其受力
如图所示。
质点系的动量矩为:
外力矩为:
由动量矩定理得:
令:,则上式变为:
通解为:
[习题11-6] 两个重物A、B各重、,分别系在两条绳上,此两绳又分别围绕半径为、的鼓轮上,重物受重力影响而运动。求鼓轮的角加速度。鼓轮和绳的质量均略去不计。
解:质点系的动量矩为:
外力对O点之矩为:
由动量矩定理可知:
[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。设摆轴圆球与直杆组成,球重,半径为,杆重不计。弹簧的刚度系数为。问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后,是否振动?写出能发和振动的条件。