一、解题技巧归纳总结
1． 共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径. 二、典型例题
例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知. ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.
∴外接球的半径.故.选该边C.
例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为.
三、配套练习
1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图：，，
，，
取的中点，的中点，连结，，
平面平面，
平面，
，，
，
，
，即外接球的半径为2，
此时三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解析】根据题意，画图如下：
在中，作，则为中点，
且根据四边形是正方形，
可知．
点即为四面体的外接球的球心，
，
球．
故选：．
3．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解析】如图，因为平面平面（折成直二面角），
所以平面，平面，得，．
取的中点，则．
于是外接球的球心是，．
而．
所以半径．
于是外接球的表面积为．
故选：．
4．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
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