湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 谷兴武 张 勤
在学习全等三角形知识时，我们会遇到这样的问题：已知△ABC，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形有几个？经笔者了解，这个问题对于学生有一定的难度，因为学生还没有学习到系统的深入的轴对称知识，仅仅只能对简单的轴对称图形产生肤浅的感性上的认识．而且有些教师，也觉得这个问题难，不能清楚的给学生讲述．所以，笔者认为有必要在此研究一下.
一、探究结论
如图1，△ABC，先以AC为公共边，作与△ABC全等的三角形，经笔者研究发现可以分为两类：另外两边AB和BC不相等或者相等两种情况.
1.以AC为公共边且AB≠BC时(如图1)，作与△ABC全等的三角形
该边
首先，作出线段AC的垂直平分线(如图1、2中的虚线)，再作出△ABC关于AC的垂直平分线的轴对称图形△AB1C，显然△AB1C≌△ABC.
再将△ABC和△AB1C沿直线AC为对称轴翻折180度，得到△AB2C和△AB3C(如图2)，显然△AB2C≌△ABC，△AB3C≌△A B1C≌△ABC.
结论：以三角形的一边为公共边且另外两边不相等时(如图2)，作与该三角形全等的三角形能作出3个新的(与原三角形区别).其中有2个与原三角形成轴对称，另一个与原三角形不成轴对称(图2的阴影部分).
2.以AC为公共边且AB=BC时(如图3)，作与△ABC全等的三角形
把△ABC沿直线AC为对称轴翻折1800，得到△AB1C (如图3)，显然△AB1C≌△ABC.
结论：以三角形的一边为公共边且另外两边相等时(如图3)，只能作出1个新的三角形与原三角形全等，且与原三角形成轴对称.
通过上面的研究，可得三种情形：
情形 1 当三角形三边互不相等时，作与该三角形有一条公共边，且与该三角形全等的新三
角形(与原三角形区别)能作9个. 其中有6个与原三角形成轴对称，3个与原三角形不成轴对称(图4的阴影部分).
情形 2当三角形为只有两边相等的等腰三角形时，作与该等腰三角形有一条公共边，且与该等腰三角形全等的新三角形能作7个.因为以底边为公共边时，由于另外两边是两腰(相等)，所以比情形1少了2个. 并且7个新三角形中有5个与原三角形成轴对称，2个与原三角形不成轴对称(图5的阴影部分).
情形 3当三角形为等边三角形时，作与该等边三角形有一条公共边，且与该等边三角形全等的新三角形只能作3个，都与原三角形成轴对称.图略.
对于以上情形1、2的结论，有教师和学生提出了质疑：会不会有三角形重合的现象？造成有的三角形被重复计算了呢？
笔者可以肯定地回答：不会.因为从前面的图1、图2我们可以看出：在以已知三角形某条边为公共边作已知三角形的全等三角形时，是分别以这条公共边的垂直平分线和过这条边所在直线为对称轴作的，又因三角形的三边所在直线和三条边的垂直平分线不会重合，所以
与原三角形成轴对称的新三角形不会重合.假设有重合现象，那么对称轴也会重合.显然假设不成立.
还要考虑与已知三角形成轴对称的三角形和与已知三角形不成轴对称的三角形之间是否会发生重合.假设它们有重合现象，那么与已知三角形不成轴对称的三角形也变得与已知三角形轴对称了，显然是矛盾的.
那么与已知三角形不成轴对称的三角形之间会不会重合呢？因为与已知三角形不成轴对称的全等三角形它们分别都与原三角形有一条不同的公共边，如果它们重合，那么它们至少与原三角形有两条公共边了，这与题目不符.
这些教师和学生的质疑提醒了笔者，虽然上面已经说明了没有三角形重合现象，那么会不会有新三角形的第三个顶点（与公共边的两个顶点区别）重合的现象呢？笔者通过进一步研究，证实了自己的想法.发现与直角三角形全等且有一条公共边的新三角形的第三个顶点有重合现象，且重合于原直角三角形的直角顶点以斜边的中点为中心的中心对称点处，有3 点在此重合为1点；另外还有顶角为1200的等腰三角形在顶角的角平分线(这里笔者理解为射线)的反向延长线上且距离顶角顶点为该三角形腰长的位置处，有2点重合为1点.由于画图方法与前面介绍的相同，所以这两种第三个顶点重合的图形笔者在此省略了，留给读者验证吧.但是笔者还是要强调一下：千万不要把第三个顶点的重合理解成新三角形会重合了.所以笔者再次重申：与已知三角形全等且有一条公共边的新三角形是不会重合的.
二、应用举例
现在，我们可以回答文章开头的问题了.
例1 已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形有几个？
有了前面的作图方法和总结的3种情形作基础，回答这个问题并不难，但是笔者考虑的是如何让学生也能突破这个难点.于是让学生用较硬的纸，自己动手裁剪出符合题意的等腰三角
形，然后按照前面介绍的方法在一张白纸上进行翻转，并且用笔画出原三角形和新三角形的位置，针对新三角形的第三个顶点标出如A1，A2，A3，B1，C1，C2，C3这样的字母进行区分.这样教学，学生兴趣高，不仅重视了知识的形成过程，而且符合素质教育的课堂模式.
最后，由学生自己总结出，这样的三角形共有7个，以AB为公共边有3个，以BC为公共边有3个，以AC为公共边有一个.笔者乘热打铁提出问题：为什么以两腰为公共边时分别有3个，以底边为公共边只有1个？并且让各小组展开讨论，得出结论：当另外两边（区别于公共边）不相等时，有3个；当另外两边相等时，只有1个.
可是，有的题目往往不会像例1那样很单一的检测这个这知识点，而是多个知识点相结合，并且提问的方式也发生了变化.
例2 已知Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图6所示，请写出与Rt△ABC全等且有一条公共边的所有直角三角形的第三个顶点的坐标（指写出坐标为整数的点）.
该题目将作与已知三角形有公共边的全等三角形和直角坐标系相结合，根据前面总结的情形1及其推导过程的作图方法很容易作出与Rt△ABC全等且有一条公共边的所有直角三角形共有9个，但是，笔者在给学生讲述此题时，为了降低难度，首先让学生用他们手中的含300的直角三角板在一张白纸上通过翻折画出与已知直角三角形ABC（按上图中Rt△ABC的顶
点字母的标注顺序标记）全等且有一条公共边的9个直角三角形，同时用A1，A2，A3(以BC边为公共边时，用A1，A2，A3三个字母标注新三角形的第三个顶点，以此类推.)，B1，B2，B3，C1，C2，C3标记这9个直角三角形第三个顶点，同学们发现A1，B1，C3三个点重合为1个点，然后，笔者才让学生在图6的直角坐标系中画出9个与Rt△ABC全等且有一条公共边的所有直角三角形，此时，学生画得较容易.显然从图中很直观地看出这9个新直角三角形的第三个顶点只有7个，且坐标为整数的点仅有五个(坐标略).
还有的题目变式的面目全非，而且附加了一些特殊要求，学生拿到此类题目无法将它与本文前面总结的三种情形及其推导过程的作图方法联系起来，于是作此类题目盲目性很大，没有章法.
例3 如图7，把一个等腰三角形纸片沿底边上的高剪开成为两个三角形纸片，现在要用这两个三角形纸片拼合成与原等腰三角形不同的三角形或四边形，并且要求拼合成的图形是轴对称图形，这样的图形有 个.
笔者总结出，此类题目不管它们怎么变式，但都有一个共同点：新三角形与已知三角形全等且有一条公共边.例3把一个等腰三角形纸片沿底边上的高剪开成为两个直角三角形纸片显然全等，再把这两个全等的三角形拼合成新的图形必然会出现公共边，所以例3是本文阐述的同一类型题目.我们不妨把剪开的两个全等的直角三角形，一个令为已知的Rt△ABC，另一个是与已知Rt△ABC有公共边且全等的新三角形，从图中可以看出Rt△ABC三边互不相等，所以符合前面总结的情形1，笔者让学生把已知Rt△ABC和与其全等且有一条公共边的新三角形快速地画成了9幅草图（请读者自己画图），很容易的看出：其中有3幅形如“区”字，有两条边发生交叉并且有一部分面积重叠，不符合题目“拼合”的要求；还有2幅组成的平行四边形(因邻边不相等或没有内角是900)不是轴对称图形；另外有1幅与原等腰三角形全等；最后剩下3幅符合题意，请读者验证.通过此法作该题，思路清晰，目标明确，
不易出现多选或遗漏答案情况.
笔者还想对上面的结果提出一点异议：可能出题人的本意是想得到“3个”的答案，但是经笔者研究，如果原等腰三角形是等腰直角三角形，那么答案就是1个了(请读者验证).但是，笔者想为出题人辩护一下：是不是题目中的“如图”二字起到作用了呢？
三、小试牛刀
如图8，是一张6×6的方格纸，我们把像△ABC这样顶点在小正方形的顶点的三角形叫做格点三角形．(1)是否存在与△ABC只有一条公共边，且全等于△ABC的格点三角形？如果存在，请画出两个这种三角形．（笔者添一问：这种三角形一共可以画几个？）
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