一、与线段长有关的最值问题
【典例1】在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面为直角三角形， ∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，则CP ＋PA 1的最小值为________．
[解析]
PA 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内， 将其铺平后转化为平面上的问题．铺平平面A 1BC 1，平面BCC 1，如图所示，计算得A 1B ＝AB 1＝210，BC 1＝2.
又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形． 设P 是BC 1上任一点，CP ＋PA 1≥A 1C ，
即当A 1，P ，C 三点共线时，CP ＋PA 1有最小值． 在△A 1C 1C 中，由余弦定理得
A 1C ＝62＋ 2 2－2×6×2×cos 135°＝52， 故(CP ＋PA 1)min ＝52.
【变式练习】
1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 取得最小值，则此最小值为(
)
A ．2
B.6＋22
C ．2＋2 D.2＋2
解析：选D
将△A 1AB 与△A 1BD 1放在同一平面内，如图所示．连接AD 1，
则AD 1为AP ＋D 1P 的最小值．因为AA 1＝A 1D 1＝1，∠AA 1D 1＝90°＋45°＝135°，
所以由余弦定理得AD 1＝AA 2
1＋A 1D 2
1－2×AA 1×A 1D 1×cos 135°＝2＋2. 2．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为________．
解析：由三视图知三棱锥如图所示，
底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ， PA ⊥平面ABC ，BC ＝27， PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2， 因此
xy ＝x 102－[x 2－ 27 2] ＝x
128－x 2≤
x 2＋ 128－x 2
2
＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，
因此xy 的最大值是64.
3．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为(
)
A ．22
B ．3
C ．23
D ．4
解析：选C 如图，不妨设N 在B 处，设AM ＝h ，CQ ＝m ，则MB 2
＝h 2＋4，BQ 2＝m 2＋4，MQ 2＝(h －m )2＋4，由MB 2＝BQ 2＋MQ 2，得m 2－hm ＋2＝0.Δ＝h 2－8≥0⇒h 2≥8，该直角三角形斜边MB ＝4＋h 2≥23，故该直角三角形斜边长的最小值为23.故选C.
【典例2】已知正四面体S ABC 的棱长为1，如果一个高为
36
的长方体能在该正四面体
内任意转动，则该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为________．
解析：如图，易知正四面体S ABC 的内切球的球心O 必在高线SH 上，延长AH 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，连接SD ，设内切球切SD 于点E ，连接AO .因为H 是正三角形ABC 的中心，所以AH ∶DH ＝2∶1.易得Rt △OAH ∽Rt △DSH ，所以
OA OH ＝DS
DH
＝3，可得OA ＝3OH ＝SO ，因此SH ＝4OH ，可得内切球的半径R ＝OH ＝1
4SH .因为正四面体S ABC 的棱长为1，所以在Rt △DSH
中，DS ＝SH 2＋DH 2＝ 4R 2＋
(
13×
32)
2＝32，解得R 2＝1
24.要满足一个高为36
的长方体能在该正四面体内任意转动，则长方体的体对角线长不超过正四面体内切球的直径，设该长方
体的长和宽分别为x ，y ，其长和宽形成的长方形的面积为S ，则4R 2≥(36
)
2＋x 2＋y 2，所以x 2
＋y 2≤
112，所以S ＝xy ≤x 2＋y 22≤1
24，当且仅当x ＝y ＝612
时等号成立，即该长方体的长和宽形成的长方形的面积的最大值为
1
24
. 【变式练习】
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A ．
334
B ．
233C ．
324D ．
32
【答案】A
【解析】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD A 1B 1C 1D 1
的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝33
4.故
选A.
2．已知球O 是正三棱锥A BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝23，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．
【答案】2π
【解析】如图，设△BCD 的中心为点O 1，球O 的半径为R ，则A ，O ，O 1三点共线．连接O 1D ，O 1E ，OD ，OE ，则O 1D ＝3，AO 1＝AD 2－O 1D 2＝3.在Rt △OO 1D 中，R 2＝3＋(3－R )2，即R ＝2，所以OO 1＝1.在△O 1DE 中，DE ＝2
3
BD ＝2，∠O 1DE ＝30°，所以由余弦定理得O 1E ＝
3＋4－2×3×2× cos 30°＝1.所以OE ＝2.过点E 作圆O 的截面，
当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为22－（2）2＝2，所以截面圆的面积为2π.
3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________．
【答案】2π
【解析】如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，
在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME ·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN 面积的最小值为12×4×2
2＝42.
三、与体积有关的最值问题
【典例3】(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，
该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．
【答案】415
【解析】如图，连接OD 交BC 于点G ，
由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝
36BC ，
设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， S △ABC ＝1
2×23x ×3x ＝33x 2，
故所得三棱锥的体积
V ＝1
3×33x 2× 5－x 2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.
令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈(0，
5
2
)
，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＞0，即x 4－2x 3＜0，得0＜x ＜2； 令f ′(x )＜0，得2＜x ＜5
2
，
则当x ∈(0，
5
2
)
时，f (x )≤f (2)＝80， ∴V ≤3×80＝415.
∴所求三棱锥的体积的最大值为415.
【变式练习】
1．(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为(
)
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543
oah【答案】B
【解析】由等边△ABC 的面积为93，可得34
AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC
的外接圆的半径为r ＝
33
AB ＝23.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离
为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值为1
3
×93×6＝183.
2．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________． 【答案】23π 【解析】由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝1
3
π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，
则f ′(r )＝36r 3－6r 5，令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增；当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝1
3
π×108＝23π.
3．已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，且AB ＝AC ＝3，BC ＝33，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D ABC 体积的最大值为________．
【答案】
27
4
【解析】如图，在△ABC 中， ∵AB ＝AC ＝3，BC ＝33， ∴由余弦定理可得
cos A ＝32＋32－ 33 22×3×3＝－1
2
，
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