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探 究 单 摆 摆 线 长 短 对 单 摆 周 期 的 影 响
摘要：本实验使用了一个传统的法探究单摆摆线长短对单摆周期的影响。实验前选用质量分布较均匀的铁球，同时换用塑性较强的细线作为摆线，大大减小系统误差对实验结果产生的影响。实验中使用传统的方法不断改变单摆的摆线长短，同时测量出对应的周期长短，采用多次测量求平均值的方式，大大减小实验的偶然误差对实验结果产生的影响。 单摆是质点振动系统的一种，是最简单的摆。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小密度较大的质块悬于一端固定的长度为L且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细 绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，无外力放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和L和当地的重力加速度g有关，而和质块的质量、形状和振幅的大小都无
关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆 。如果振动的摆度大于 5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。力学实验中有各种特征
的摆, 单摆是最简单的摆。通过单摆装置可以方便地研究单摆的振动周期与摆线长短关系同时可以测定当地的重力加速度g。
1 实验装置
如图1所示使用铁架台将单摆摆线的上端固定，标志和记号用于进行单摆测周期时进
行标记数数，从而实现多次测量求平均值，同时选择在平衡位置处计时，在平衡位置处计时有利于提高计数的准确性如果在最高点开始记时不容易判断，可能存在较大的误差，经过平衡位置计数误差相对较小。
选择细而质量小的线做悬线, 摆球选用中间有小孔的金属球，实验方法要求用停表测
量单摆做50次全振动所用的时间,计算出一次全振动的平均时间, 即周期,把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度让它摆动, 待摆动几次稳定后, 当摆球经过平衡位置时开始计时保持摆球在同一平面内摆动,防止做8字形摆动。当小球质量远大于悬线质量, 而它的半 径又远小于悬线长度时, 可将小球作为质点来处理, 且在单摆振动摆角小于时, 单摆的
振动可视为简谐振动其周期满足简谐振动的相关关系式
本实验就是根据该等效情况下的单摆的周期公式来不断改变摆长，探究单摆摆长的 长短对其 周期的影响，实验装置如下图所示。
图1 实验装置示意图
Fig.1 The stekch map of experimental set-up
2实验测量方法
本实验采用控制变量法，控制除摆长这一变量以外的其他变量不变，或尽量减小它们对实验结果的影响，从而研究摆长的变化对单摆周期的影响，得出单摆周期与摆长之间的关系式（即摆长变化对周期产生何种影响)即为本实验的探究目的。
(1)制做单摆
取约1.5 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外让摆球自然下垂。
(2)测摆长
用米尺量出小球以外部分的摆线长l(精确到毫米)，同时用游标卡尺测出小球直 径D(精确到毫米)，则单摆的摆长l＝l＋D/2。测量时摆长和小球的直径均由多人多次测量，最终取其平均值。
(3)测周期
控制好摆长，摆角，将小球从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后无外力释放小球，同时观察小球是否在同一平面内摆动，若小球在同一平面内摆动，则当小球摆动稳定后便可以开始计时，记下单摆做50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．反复测量三次。
改变单摆摆线长短，无外力释放小球重复上述操作，得出多组不同摆长对应的周期，并做好相关的实验数据记录。
（4）实验常规
收拾整理实验用具，将相应的实验器材整理到相应的地方，如有在实验中有损坏的仪器应及时报实验仪器管理处，并按相关的要求经行赔偿，实验仪器的整理是实验中的一个重要的环节，实验者应自觉遵守相关的实验室常规，这样才能更好的保持实验室的环境，和维护实验室的正常秩序。
3 实验数据记录及处理
3.1实验数据记录表格
表1 探究单摆摆线长短对周期的影响实验数据记录
实验次数 1 2 3 4 5 6 |
L 114.50 130.95 138.15 147.05 149.40 159.15 |
| 摆度 t1 | 102.31 111.00 113.21 117.09 118.00 121.94 |
t2 | 102.25 111.22 112.97 116.47 117.87 122.03 |
t3 | 102.31 112.63 112.95 116.03 117.91 121.58 |
102.29 112.63 112.95 116.03 117.93 121.85 |
T 2.046 2.208 2.259 2.321 2.359 2.473 |
T2 4.185 4.877 5.103 5.385 5.563 5.939 |
T3 8.565 10.765 11.528 12.358 13.128 15.124 |
| |
表2 周期及其平方、三次方与相应摆长的比值数据记录
实验次数 1 2 3 4 5 6 |
T/L(s/m) 1.787 1.686 1.635 1.578 1.579 1.550 |
T2/L(s2/m) 3.665 3.661 3.680 3.599 3.681 3.689 |
T3/L(s3/m ) 7.480 8.220 8.345 8.501 8.787 9.502 |
|
3.2 实验数据处理
由表2可看出，在周期及其平方三次方与相应的摆长之比中，周期的平方与相应的摆长之比总是在3.66的附近震荡，即周期与相应的摆长的比值可以看为一个常数，则在T2-L图线中起应该是一条直线，根据以上数据，我们可以做出以下图线：
从以上图线（图2）中我们可以知道，除了极个别点外，周期平方与相应的摆长的比值是一个常数，其相应的点分布在一条直线上，则求出直线的方程就可以知道周期与摆长的关系。
下面使用最小二乘法来进行直线拟合，以求出直线的方程,已知单摆的周期公式为，可化简为令其周期满足形式的方程。
用最小二乘法计算b的值可得：
b=3.89 r=0.995
则由求出的b的值可以近似进行直线拟合可得到以下直线方程:
从实际情况来看，已知昆明本地区的重力加速度为9.784 m/s2则b的理论值为
则b=4.03，而有实验的出b的实验值为3.89，则相对误差：
由上式可得：
从相对不确定度来看，实验结果相对不确定度较小，实验结果在误差在误差允许的范围内交准确，实验结果真实有效。
4. 实验分析总结
4.1实验分析
（1）实验中在选用摆线时应注意，应选用强度较高、质量较轻、横截面积娇较小的绳来做摆线，这样可以尽可能的减小实验过程中摆线质量及其所受空气阻力对实验结果的影响，本实验中的变量是摆线长短，所从物理学中控制变量的研究思想，应控制实验变量以外的其他变量，尽量减小它们对实验结果的影响。
（2）实验中摆球应选择质量较大密度较高的材料制成的小球，这样更能满足将小球近似看为一个质点的实验假设，同时减小系统误差对试验的影响，综合相应实验要求及实验室实际条件，本实验中选择铁球作为试验用摆球。
（3）实验过程中单摆的摆长不能太短，但也不是越长越好，所以在实验时应控制摆长在1.2m左右进行变动进行试验。
（4）由于实验条件的限制，本实验采用的是交为传统的试验方法，但实验过程中应更加注意相关的试验要求，在实验条件允许的情况下可以适当的引入一些比较先进的实验仪器，例如：如我们可以在实验过程中可以使用TI-83Plus设备，由TI设备的特性实验者可以在短时期内将摆长改变了40次，当然实际的实验中改变了有上百次，然后看单摆的摆动周期有怎样的改变。数据处理是可运用图形计算器中强大的统计功能将所有的数据进行统计运算拟合，这样不仅实验操作简便而且使用精准的电子设备更有利于提高实验结果的准确性，增强实验结果的说服力。
（5）本实验要研究单摆的周期跟某一变量是否有关系，必须使其他变量或因素不变，因此须采取控制变量法。实验过程中控制摆长这一变量，尽量排除除此变量以外的其他变量对
试验的影响，其次实验过程中除了使用多人多秒表多次测量方法外还可以使用光电门来计时，同时采用多次测量求平均值，这样可以进一步提高实验的精准性，排除未知的人为因素在计时时产生的不必要的影响。
4.2实验总结
从以上直线方程可知在误差允许的范围内与相应的摆长L满足正比例函数方程，所以，在一定范围内随着单摆摆长的不断增加其周期也增大，且其周期在增大时满足的函数关系式为：。
本实验的实验结果符合单摆的周期公式，相对不确定度较小，探究说明了单摆周期与单摆摆线长短之间的线性关系。
参考文献
[1] 于凤军.单摆系统的振动研究. 安阳师范学院,物理与电气工程学院,河南,安阳,455000
[2] 郑丽. 单摆实验中摆长的讨论. 黄山学院,电子信息工程系,安徽,黄山,245021
[3] 周保健. 测量单摆周期实验的改进[J]. 新课程(教师), 2010, (12)
[4] 郑建雄. “单摆周期与摆长关系”的研究式教学[J]. 技术物理教学, 2004,(02)
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