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2、请将答案正确填写在答题卡上
2023-2024学年吉林省通化市高中数学人教A 版 必修二
第八章 立体几何强化训练(13)
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
考试时间：120分钟
满分：
150分
题号一二三
四
五
总分
评分
*注意事项：
阅卷人得分
一、选择题（共12题，共60
分）
无法确定
与
的大小
1. 有一个圆台型的密闭
盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成60°角，且母
线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，
设球的表面
积为 ， 圆
台的侧面
积为
， 则（
）
A. B. C.
D. 2. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）
A. B. C.
D.
， 既不垂直也不平行
， 的位置关系不确
定
3. 若空间中四条不同的直线 ， ， ， 满足 ， ， ， 则下面结论正确的是（ ） A.
B.
C. D. 4. 如图所示，正方体的棱长为2，E ，F 分别为
， 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若
， 则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
若
，
则
若，
则
若，
则
若，
则
5.
若是互不相同的空间直线
，
是不重合的平面，下列命题正确的是 （ ）
A. B. C. D. 6. 已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ ）A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
7. 下列命题中：
1）平行于同一直线的两直线平行；2）平行于同一直线的两平面平行；3）平行于同一平面的两直线平行；
4）平行于同一平面的两平面平行．其中正确的个数有（ ）A. B. C. D. 12
8. 如图，正方体
的棱长为1，点
在棱
的延长线上，且
，点
是侧面
内的一动点
，若
平面
，则点
的轨迹的长度是（
）
A. B. C. D.
9. 已知三棱锥的底面是边长为2正三角形，侧面均为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A.
B.
C.
D.
10. 如图，点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的表面上运动，且P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）
A. B.
C. D.
①②③
①③
②③
①②③④
11. 已知 是两条不同的直线，
是三个不同的平面，下列命题中：
①若 ，且 ∥ ，则 ∥ ；②若
相交，且都在 外，
， ∥ ，
， ∥ ，则
∥ ；③若
，
，
，
，则
；④若
，
，
，
，则
.其中正确命
题的序号是（ ）A. B. C. D. 州
十校合
12. 如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“温”在正方体中的对面是（ ）
A. B. C. D. 13. 在三棱锥 中， 是边长为3的等边三角形， ， ，二面角 的大小为 ，
则三棱锥 外接球的表面积为 .
14. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱 是一个“堑堵”
，其中
正二十面体的展开图，
，
，则这个“堑堵”的外接球的表面积为 .
15. 过边长为2的正方形的中心作直线l 将正方形分成两部分，将其中的一个部分沿直线l 翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值是
16. 如图所示（单位：cm），图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为．
17. 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1中点
(1) 求证：BC1∥平面AB1D1
(2) 求证：平面AB1D1∥平面C1BD．
18. 如图，平行四边形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且，
，P为DF中点．
(1) 求证：直线PE平行于平面ABCD；
(2) 求PE与平面BCE所成的线面角大小．
19. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且，，点E和F分别为棱和的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面．
20. 材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数､棱数及面数都满足简单的规律：；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数､棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）.正多面体是指多面体 的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角（多面角是指有公共端点且两两不共线的条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角）都是全等的多面角.例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体分别如图所示.我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交.
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家，C60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；
(1) 阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数､棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；
(2) 请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程.）问题1：请问C60的分子结构模型中，有几个五边形问题2：简单多面体中是否存在正十六面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.
21. 在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所
成角为，点M为线段PO上一动点.
(1) 证明：；
(2) 若，求点M到平面PAB的距离.
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