正多面体及其自同构

本文主要应用论的初等技巧和方法，通过论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构。

标签：正多面体；自同构；对称

一、前言

论是研究对称的学科，正因为如此，它在物理，化学，生物，晶体学等诸多学科中才有着重要的应用。因此利用论来研究几何的组合的方法是非常重要的。从古代希腊时代，人们就已经知道只有五种正多面体，即正四面体，正六面体，正八面体，正是二面体，正二十面体。

我们先给出关于这些正多面体的一些基本事实。

1.正多面体的诸面都是全等的正多边形，正六面体是正方形，正十二面体的面是正五边形，而其他三种正多面体的面是正三角形。

2.正多面体的诸多面角也彼此全等。

3.每个正多面体都内接于一个球，如果它的两个定点的连线经过球心，则称这两个顶点是互相对极的顶点。

4.以一个正多面体诸面的中心作为顶点，相邻两个面中点连线作为边，得到的多面体也是正多面体，叫作原正多面体的对偶。容易看出，正四面体自对偶，正六面体和正八面体互相对偶，正十二面体和正二十面体互相对偶。

5.正多面体的一个旋转变换如果保持三个顶点不动，则它是恒等变换。

而本文正是通过应用论的初等技巧和方法，通过论与几何的分析给出了欧几里得空间中5个正多面体的自同构。

二、定理

设 A，B，C，D，E 分别为欧几里得空间中的正四面体，正方形，正八面体，正是二面体，正二十面体。记Aut（x）为X的旋转变换。这样我们就有以下结果：

1.Aut（A） = Alt（4），即四次交错；

正二十面体的展开图

2.Aut（B） = Sym（4），即四次对称；

3.Aut（C） = Sym（4），即四次对称；

4.Aut（D） = Alt（5），即五次对称；

5.Aut（E） = Alt（5），即五次对称。

若无特殊说明，本文所涉及的概念以及符号均取自文献【1-7】。

三、预备知识

在本文的证明过程中，我们将要用到以下论的熟知结果，所以我们列为引理而略去证明。

本文发布于:2024-09-21 14:50:30，感谢您对本站的认可！

标签：群论顶点对偶作为

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