第八节空间正多面体
前面几节我们学习了五种正多面体，以及它们在化学中的应用。此节我们将继续对这一内容进行讨论、总结与深化。
何为正多面体，顾名思义，正多面体的每个面应为完全相同的正多边形。对顶点来说，每个顶点也是等价的，即有顶点引出的棱的数目是相同的，相邻棱的夹角也应是一样的。那么三维空间里的正多面体究竟有多少种呢？ 【例题1】利用欧拉定理（顶点数－棱边数＋面数＝2），确定三维空间里的正多面体。
【分析】从两个角度考虑：
先看每个面，正多边形可以是几边形呢？我们知道三个正六边形共顶点是构成平面图形的。因此最多只可以是正五边形，当然还有正三角形和正方形；再看顶点，每个顶点至少引出三条棱边，最多也只有五条棱边（六条棱边时每个角应小于60°，不存在这样的正多边形）。因此，每个面是正五边形时，三棱共顶点；正方形时，也只有三棱共顶点（四个正方形共顶点是平面的）；正三角形时，可三棱、四棱、五棱共顶点（六个正三角形共顶点也是平面的）， 当然也可以说，一顶点引出三条棱边时可以为正三角形面、正方形面和正五边形面；一顶点引出四条棱边时只可以为正三角形面；一顶点引出五条棱边时也只可以为正三角形面——共计五种情况，是否各种情况都存在呢？（显然是，各种情况前面均已讨论）我们用欧拉定理来计算。
①正三角形，三棱共顶点：
设面数为x，则棱边数为3x/2（一面三棱，二面共棱），顶点数为x（一面三顶点，三顶点共面），由欧拉定理得x－3x/2＋x＝2，解得x＝4，即正四面体；
②正三角形，xx顶点：
同理，3x/4－2x＋x＝2，解得x＝8，即正八面体；③正三角形，五棱共顶点：
同理，3x/5－3x/2＋x＝2，解得x＝20，即正二十面体；④正方形，三棱共顶点：
同理，4x/3－2x＋x＝2，解得x＝6，即正方体；⑤正五边形，三棱共顶点：
同理，5x/3－5x/2＋x＝2，解得x＝12，即正十二面体。
【解答】共存在五种正多面体，分别是正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
【例题2】确定各正多面体的对称轴类型Cn和数目（Cn表示某一图形绕轴旋转360°/n后能与原图形完全重合）
【分析】①正四面体：
3轴，显然共有四条；有C
2轴吗？过相对棱的中点就是C
2轴，共三条。将正四面体放入正方体再研究一下吧（参考第一节）！C
3轴不就是体对角线吗（）？而C
2轴就是正方体的相对面心（）。
②正方体：
存在C
4轴，即过相对面的面心，有三条；C
正二十面体的展开图3轴，过相对顶点，有四条；C
2轴呢？用了面心和顶点，是否可用棱边呢？过相对棱的中点，不就是C
2轴吗？共有六条。
③正八面体：
先也看过面心的轴，是C
3轴；过顶点的轴，是C
4轴；而过棱的中点的轴就是C
2轴。
④正十二面体：
过两个相对面的面心就是C
5轴，共有六条（）；过相对顶点就是C
3轴，应该有十条（）；过相对棱的中点也存在C
2轴，共有十五条（）。
⑤正二十面体：
过相对面的面心，十条C
3轴；过相对顶点，六条C
5轴；过相对棱心，十五条C
2轴。
从上面的分析不难看出，正方体与正八面体、正十二面体与正二十面体有相同的对称性（对称轴种类与数目相同，其实对称面种类和数目，对称中心也相同，此处不讨论），也正如前面几节所说，连接各自的面心可得到相应的正多面体，而对称轴（对称面、对称中心）没有改变，这样一对正多面体称为对偶正多面体。还有一种正四面体，它是自
对偶的，连接各自面心还是正四面体。
【解答】
正四面体：4C
3、3C
2；
正方体：3C
4、4C
3、6C
2；
正八面体：3C
4、4C
3、6C
2；
正十二面体：6C
5、10C
3，15C
2；
正二十面体：6C
5、10C
3，15C
2；
【例题3】在富勒烯家族Cx中，出与正十二面体具有对称轴的Cx。
【分析】足球烯C
60是C
x中最典型的物质，它的模型类似足球，对称性很好，有12个正五边形和20正六边形组成。第五节曾谈到C
60可由正二十面体消去12个顶点得到，因此过相对正五边形的面心就是C
5轴（），过相对正六边形的面心就是C
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